Chủ đề này có 2 trả lời

[Giang Giang]

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u₁ ,u₂ ,...,u_n là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v₁ = a₁₁u₁ ,

v₂ = a₂₁u₁ + a₂₂u₂,

v₃ = a₃₁u₁ + a₃₂u₂ + a₃₃u₃,

. . .

v_n = a_n1u₁ + a_n2u₂ + . . . a_nnu_n

là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a₁₁a₂₂...a_nn  khác 0

 

[winds]

 

Bài 1 (CĐ Tuyên Quang). Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Giả sử u₁ ,u₂ ,...,u_n là một hệ véc - tơ độc lập tuyến tính của V, aij ∈K, 1 ≤ j ≤ i ≤ n. Chứng minh hệ véctơ:

v₁ = a₁₁u₁ ,

v₂ = a₂₁u₁ + a₂₂u₂,

v₃ = a₃₁u₁ + a₃₂u₂ + a₃₃u₃,

. . .

v_n = a_n1u₁ + a_n2u₂ + . . . a_nnu_n

là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a₁₁a₂₂...a_nn  khác 0

 

cho  a_11...a_nn khác 0. Nếu c₁v₁ + ... +c_nv_n =0 , thì thay v₁ , ...,v_n qua u₁ ,..., u_n, rồi nhóm hệ số theo các vecto u_{1 ,..,}  u_{n .}Xét hệ số của u_n ta suy ra c_n = 0 .Tương tự , cứ xét ngược trở lại, ta có c_n-1 =0,...,c₁ = 0.

  Nếu  a_11...a_{nn = 0} , thì chọn i bé nhất để aii = 0.Khi đó u₁ biểu diễn tuyến tính qua v₁ ,... Cứ thế ta có u_i-1 biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 . Sử dụng hệ thức thứ i , ta suy ra v_i biểu diễn tuyến tính được qua v₁ ,...v_i-1 .Do đó hệ  v₁ , ...,v_n phụ thuộc tuyến tính .

[vo van duc]

Ta chứng minh hai ý sau:
(1) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ độc lập tuyến tính.

Giả sử với $\lambda _1,\lambda _2,\ldots , \lambda _n\in \mathbb{R}$ ta có quan hệ tuyến tính
$$\begin{matrix} & \lambda _1v_1+\lambda _2v_2+\cdots +\lambda _nv_n=0 \\ \Leftrightarrow & \lambda _1a_{11}u_1+\lambda _2(a_{21}u_1+a_{22}u_2)+\cdots +\lambda _n(a_{n1}u_1+\cdots +a_{nn}u_n)=0 \\ \Leftrightarrow & (\lambda _1a_{11}+\cdots+\lambda _na_{n1})u_1+(\lambda _2a_{22}+\cdots +\lambda _na_{n2})u_2 +\cdots +\lambda _na_{nn}u_n=0 \end{matrix}$$ Ta có hệ các véc tơ $u_1,u_2,\ldots ,u_n$ độc lập tuyến tính, suy ra $$\left \{ \begin{matrix} a_{11}\lambda _1 & + & a_{21}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n1}\lambda _n & = & 0 \\ & & a_{22}\lambda _2 & + & \cdots & + & a_{n2}\lambda _n & = & 0 \\ & & & & \ddots & & \vdots & & \\ & & & & & & a_{nn}\lambda _n & = & 0 \end{matrix} \right.$$ Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\neq 0$ thì hệ phương trình có định thức khác không nên có nghiệm tầm thường $\lambda _1= \lambda _2=\cdots =\lambda _n=0$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ độc lập tuyến tính.

(2) Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

Nếu $a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}= 0$ thì hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại ít nhất một số $a_{ii}=0$. Giả sử $i$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_{ii}=0,1\leq i\leq n$. Khi đó

$u_1$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1$
$u_2$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2$
$\ldots $
$u_{i-1}$ có thể biểu thị tuyến tính qua $v_1,v_2,\ldots, v_{i-1}$

Vì $a_{ii}=0$ nên từ phương trình thứ $i$ của hệ điều kiện trong giả thiết ta có $$v_i= a_{i1}u_1+a_{i2}u_2+\cdots +a_{i,i-1}u_{i-1}\quad (*)$$
Thay các biểu thị tuyến tính trên vào $(*)$ ta có một biểu thị tuyến tính của $v_i$ theo các véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i-1}$. Suy ra hệ $v_1,v_2,\ldots ,v_{i}$ phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hệ véc tơ $v_1,v_2,\ldots ,v_n$ có một hệ con phụ thuộc tuyến tính nên phụ thuộc tuyến tính.

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-11-2015 - 04:44