Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min $M=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
RoyalMadrid

RoyalMadrid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}$



#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}$

BĐT phụ:$\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)} \leq \frac{a+1+a^{2}-a+1}{2}=\frac{a^{2}+2}{2}$ (BĐT AM-GM)

Ta có 

$M=\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}$ $\geq$ $\sum \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}=\sum \frac{2a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{2a^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}$$=1$

Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh