TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10
BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài : 210 phút
(Đợt 2, ngày 30/10/2015)
Câu I. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
$$a^2+b\mid a^2b+a,b^2-a\mid ab^2+b$$
2) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên bậc 2015 với hệ số bậc cao nhất là 1. Đặt $Q(x)=(P(x))^2-9$. Chứng minh rằng số nghiệm nguyên phân biệt của đa thức $Q(x)$ không vượt quá 2015.
Câu II. 1) Cho dãy số $(a_n)$, $n\in \mathbb{N}$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}a_0=1 & & \\ a_{n+1}=3a_n+\left [ a_n\sqrt{5} \right ] & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $a_{n+1}=6a_n-4a_{n-1}$ và $5a_n^2-4^n$ là số chính phương với mọi $n\in \mathbb{N}$
2) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 1 và thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
$$\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{c^2}{(c-1)^2}\geq 1$$
Câu III. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD với D thuộc đoạn thẳng BC. P là một điểm di chuyển trên đoạn thẳng BC. Đường thẳng qua P vuông góc với BC lần lượt cắt CA,AB tại E,F. Gọi K,L lần lượt là các điểm đối xứng của D qua CA,AB.
1) Chứng minh rằng (LFB) và (KEC) cắt nhau tại 1 điểm M trên BC.
2) Gọi giao điểm khác M của (LFB) và (KEC) là N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.
Câu IV. Tìm điều kiện của số nguyên dương $n \geq 2$ sao cho ta có thể nối được $n$ đoạn thẳng với các đầu mút là các đỉnh của một đa giác đều $2n$ cạnh thỏa mãn đồng thời:
i) mỗi đỉnh của đa giác là đầu mút đúng của một trong các đoạn thẳng vừa nối;
ii) các đoạn thẳng trên có độ dài khác nhau.
---- HẾT----
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 30-10-2015 - 22:51