Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh n=1

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Cho 3 số nguyên tố p,q,r thỏa mãn $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

Chứng minh n=1


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#2
QQspeed22

QQspeed22

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
Nè bạn vẫn có TH n= 2 chứ

#3
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Cho 3 số nguyên tố p,q,r thỏa mãn $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

Chứng minh n=1

Bài này mình có hai hướng đi, bạn thử xem sao nhé.
Hướng 1. Dễ thấy nếu $r = 2$ thì không có bộ nào thỏa. Do đó $r$ lẻ. Điều đó đồng nghĩa với việc có một số lẻ một số chẵn, mà đó là số nguyên tố nên phải có số $2$. Giả sử là $p = 2$. Khi đó $2^{n} + q^{n} = r^{2}$
TH1. $n = 2k$, khi đó $2^{2k} = (r - q^{k})(r + q^{k})$. Từ đó có $\begin{cases} r - q^{k} = 2^{x} \\ r + q^{k} = 2^{y} \end{cases}$ với $y > x \ge 0$. Từ đó có $2r = 2^{x} + 2^{y}$. Nếu $x \ge 2$ thì dẫn đến $r$ chẵn, vô lí. Do đó $x = 1$ hoặc $x = 0$.
TH1.1. $x = 0$, ta có $r = q^{k} + 1 \implies 2^{y} = r + q^{k} = 2q^{k} + 1$, vô lí do $y \ge 1$.
TH1.2. $x = 1$, ta có $r = 1 + 2^{y - 1}$ và $q^{k} = 2^{y - 1} - 1$. Để ý là $y + 1 = 2k$, do đó $y - 1$ chẵn, mà $y - 1 \neq 0$ (do $r \neq 2$). Xét modulo $3$ cho ta $3\mid q^{k} \implies q = 3$. Từ đó có phương trình $3^{k} = 2^{2k - 2} - 1 = 4^{k - 1} - 1$. Từ đây dùng bất đẳng thức đánh giá hay modulo gì đó (i'm too lazy now...) (ban đầu dùng modulo có được $q = 3$ ngay nhưng sẽ không có phương trình trên để đánh giá, hoặc là mình làm gì đó dài quá =)) )
TH2. $n = 2k + 1$ với $k \ge 1$. Dùng một bài toán nhỏ $a + b \mid a^{n} + b^{n}$ với $n$ lẻ. Khi đó có $r^{2} \vdots p + q$. Mà $p^{n} + q^{n} > p + q > 1$ (do $n > 1$). Từ đó có $p + q = r$. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có $2^{n - 1}.r^{2} = 2^{n - 1}(p^{n} + q^{n}) \ge (p + q)^{n} = r^{n} \implies 2^{n - 1} \ge r^{n - 2}$. Do $r \ge 3$ nên ta có $(n - 1)\ln (2) \ge (n - 2)\ln(\text{r}) \ge (n - 2).\ln (3)$
$$\implies \frac{n - 2}{n - 1} \le \frac{\ln (2)}{\ln(3)}$$
Đánh giá sẽ có được $n = 3$. Viết lại phương trình, ta có $p + q = r$ và $p^{2} - pq + q^{2} = r$ suy ra $(p + q)^{2} - 3pq = p + q$.
$$(p + q)^{2} - (p + q) = 3pq \le \frac{3(p + q)^{2}}{4} \implies (p + q)^{2} \le 4(p + q) \implies p + q \le 4 \implies p = q = 2$$
Thế vào suy ra $r = 4$, vô lí.
Từ đó có điều phải cm.

Hướng 2. Xét $n \ge 2$. Về $n$ chẵn thì nhận xét như trên. Xét $n$ lẻ, đầu tiên nhận xét $p \neq q$ thì $\text{gcd}(p, q) = 1$. Nếu $p = q$ suy ra $r = 2$. Điều này là vô lí.
Vậy $p \neq q$. Áp dụng định lý Zsigmondy (đã đủ điều kiện để áp dụng) thì ta có được $p^{n} + q^{n}$ có một ước nguyên tố $L$ sao cho $p + q$ không chia hết cho $L$. Điều này có nghĩa là $p + q = 1$, điều này vô lí.
Điều này dẫn đến $n = 1$.
Với $n = 1$, có một bộ $2^{1} + 2^{1} = 2^{2}$



#4
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Cho 3 số nguyên tố p,q,r thỏa mãn $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

Chứng minh n=1

Giả sử $q=2$

Nếu $n$ lẻ thì ta có $p^n+2^n=(p+2)\frac{p^n+2^n}{p+2}= r^2$ mà $r$ nguyên tố suy ra $p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}= r$

Do đó $n=1$ vì nếu $n\geq 3$ thì $\frac{p^n+2^n}{p+2}> p+2$ vô lí.

Nếu $n$ chẵn, $n=2k$ suy ra $(p^k)^2+(2^k)^2=r^2$ .Dễ thấy $p,2,r$ phân biệt nên đây là bộ $Pitago$ nguyên thủy nên tồn tại $m,n$ nguyên tố cùng nhau, khác tính chẵn lẻ sao cho $p^k=2mn, 2^k=m^2-n^2$ hoặc $2^k=2mn, p^k=m^2-n^2$

Vì $p$ nguyên tố lẻ nên cả $2$ trường hợp đều vô lí.

Vậy $n=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 25-02-2016 - 07:40

__________

Bruno Mars





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh