Chủ đề này có 3 trả lời

[thuylinh284]

Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$. Tìm GTNN của P= $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$

[hoanglong2k]

Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$. Tìm GTNN của P= $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$

  Ta có :

 $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}=\frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{c+abc}$

  Ta sẽ chứng minh $\frac{a^2}{a+abc}\geq a^2\Leftrightarrow a+abc\leq 1$

  Mà $a+abc\leq a+a.\frac{1-a^2}{2}\leq 1\Leftrightarrow (a+2)(a-1)^2\geq 0$ ( đúng )

  $\Rightarrow\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\geq 1$

 Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và các hoán vị
 

 

Spoiler

 Bài toán vẫn còn chặn trên là $Max_P=\sqrt2$ với dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},0)$ và các hoán vị. 

 

[ineX]

còn có thể nhân cả tử cả mẫu của \frac{a}{1+bc} với a^{3} rồi dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

[Kira Tatsuya]

$P= \frac{a^4}{a^3+a^3bc} + \frac{b^4}{b^3+b^3ac} + \frac{c^4}{c^3+c^3ab}\\ \Leftrightarrow P \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+a^3bc+b^3ac+c^3ab}\geq\frac{1}{a^3+b^3+c^3+abc}$

làm tới đây rồi sao nữa vậy ??? (chắc không ra do a khác b khác c)

 

còn có thể nhân cả tử cả mẫu của \frac{a}{1+bc} với a^{3} rồi dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz