Chủ đề này có 2 trả lời

[nhungvienkimcuong]

đặt $\mathcal{S}=\sum_{i=1008}^{2015}\left \lfloor \frac{2^i}{2017} \right \rfloor-\sum_{i=0}^{1007}\left \lfloor \frac{2^i}{2017} \right \rfloor$ với $\left \lfloor a \right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$

Chứng minh rằng $2017.\mathcal{S}$ là số chính phương

(Nguồn: thầy Nguyễn Hồng Lữ)

Spoiler

một bài toán hay với lời giải thú vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-11-2015 - 21:04

[tanlsth]

đặt $\mathcal{S}=\sum_{i=1008}^{2017}\left \lfloor \frac{2^i}{2017} \right \rfloor-\sum_{i=0}^{1007}\left \lfloor \frac{2^i}{2017} \right \rfloor$ với $\left \lfloor a \right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$

Chứng minh rằng $2017.\mathcal{S}$ là số chính phương

(Nguồn: thầy Nguyễn Hồng Lữ)

Spoiler

một bài toán hay với lời giải thú vị

 

Đặt $p=2017$, dễ thấy $p$ là số nguyên tố lẻ và dựa vào tính chất

 

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$

 

ta sẽ có $2$ là số chính phương theo $\mathrm{mod}\; p$, hay $2^{\frac{p-1}{2}} = 1 \;(\mathrm{mod}\; p)$

 

Giả sử $2^i=a_i \;(\mathrm{mod} \; p), \; \forall i=0,\dots,\frac{p-1}{2}-1$, suy ra $2^{i+\frac{p-1}{2}}=a_i \;(\mathrm{mod}\; p), \; \forall i=0,\dots,\frac{p-1}{2}-1$

 

ta suy ra $\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left\lfloor \frac{2^i}{p}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left(\frac{2^i}{p}-\frac{a_i}{p}\right)$

 

Tương tự $\sum_{i=\frac{p-1}{2}}^{p-2}\left\lfloor \frac{2^i}{p}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left(\frac{2^{i+\frac{p-1}{2}}}{p}-\frac{a_i}{p}\right)$

 

Từ các kết quả trên ta có

 

$S=\sum_{i=\frac{p-1}{2}}^{p-2}\left\lfloor \frac{2^i}{p}\right\rfloor-\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left\lfloor \frac{2^i}{p}\right\rfloor=\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left(\frac{2^{i+\frac{p-1}{2}}}{p}-\frac{a_i}{p}\right)-\sum_{i=0}^{\frac{p-1}{2}-1}\left(\frac{2^i}{p}-\frac{a_i}{p}\right)=\frac{\left(2^{\frac{p-1}{2}}-1\right)^2}{p}$

$\rightarrow pS=\left(2^{\frac{p-1}{2}}-1\right)^2$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 04-11-2015 - 21:19

[nhungvienkimcuong]

Đề bài có nhầm hay mình có nhầm ở đâu không nhỉ

đã fix ạ