Đến nội dung

Hình ảnh

$I_n(k_1,..,k_n) = \int _{\mathbb{D_{n}}}...\int x_1^{k_1}...x_n^{k_n}dx_1..dx_n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thuylinh_909

thuylinh_909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Mọi người giúp mình bài này với ạ :

 

Với mọi $n \in \mathbb{N}* $ ta kí hiệu: 

 

                $D_n={(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}_n| \forall i, x_i \geq 0 ; x_1+x_2+...+x_n \leq 1 }$

 

Với mọi $(k_1,k_2,..., k_n ) \in \mathbb{N}* $ hãy tính  

 

                $I_n(k_1,..,k_n) = \int _{\mathbb{D_{n}}}...\int x_1^{k_1}...x_n^{k_n}dx_1..dx_n$



#2
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Ta chứng minh quy nạp theo $n$. Thật vậy khi $n=1$ thì \[W\left( {{a_1}} \right) = \int_0^1 {y_1^{{a_1}}dy} = \left. {\frac{{y_1^{{a_1} + 1}}}{{{a_1} + 1}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{{a_1} + 1}} = \frac{{\Gamma \left( {{a_1} + 1} \right)}}{{\left( {{a_1} + 1} \right)\Gamma \left( {{a_1} + 1} \right)}} = \frac{{\Gamma \left( {{a_1} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + 2} \right)}}\] Giả sử định đúng với $n=k-1$, tức \[W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{k - 1}}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {{a_{k - 1}} + 1} \right) \ldots \Gamma \left( {{a_1} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k} \right)}}\] Với $n=k$ ta \begin{align} W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_k}} \right) &=\idotsint_{\sum\limits_{i = 1}^k {{y_i}} \leqslant 1,{y_j} \geqslant 0,j= \overline {1,k} } y_k^{{a_k}}y_{k - 1}^{{a_{k - 1}}} \ldots y_1^{{a_1}}d{y_1}d{y_2} \ldots d{y_k} \nonumber \\ W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_k}} \right)& = \int_0^1 {y_k^{{a_k}}\left[ {\idotsint_{\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{y_i}} \leqslant 1,{y_j} \geqslant 0,j= \overline {1,k-1} } y_{k - 1}^{{a_{k - 1}}} \ldots y_1^{{a_1}}d{y_1}d{y_2} \ldots d{y_{k-1}}} \right]d{y_{k}}} \label{4} \end{align} Đổi biến số ${z_i} = \dfrac{{{y_i}}}{{1 - {y_k}}}$ thì $d{y_i} = \left( {1 - {y_k}} \right)d{z_i},i = \overline {1,k - 1} $ khi đó \eqref{4} thành \begin{align*} W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_k}} \right) &= \int_0^1 {y_k^{{a_k}}\left[ { \idotsint_{\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{z_i}} \leqslant 1,{z_j} \geqslant 0,j= \overline {1,k-1} } {\left( {1 - {y_k}} \right)^{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k-1}} + k - 1}}z_1^{{a_1}}z_2^{{a_2}} \ldots z_{k - 1}^{{a_{k - 1}}}d{z_1}d{z_2} \ldots d{z_{k-1}} } \right]d{y_k}} \\ & = \int_0^1 {y_k^{{a_k}}{{\left( {1 - {y_k}} \right)}^{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k-1}} + k - 1}}\left[ { \idotsint_{\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{z_i}} \leqslant 1,{z_j} \geqslant 0,j= \overline {1,k-1} } z_1^{{a_1}}z_2^{{a_2}} \ldots z_{k - 1}^{{a_{k - 1}}} d{z_1}d{z_2} \ldots d{z_{k-1}} } \right]d{y_k}} \\ & = \int_0^1 {y_k^{{a_k}}{{\left( {1 - {y_k}} \right)}^{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + k - 1}}W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{k - 1}}} \right)d{y_k}} \\ & = W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{k - 1}}} \right)\int_0^1 {y_k^{{a_k}}{{\left( {1 - {y_k}} \right)}^{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k - 1}}d{y_k}} \\ & = W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{k - 1}}} \right)\beta \left( {{a_k} + 1,{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k} \right) \\ & = W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{k - 1}}} \right)\frac{{\Gamma \left( {{a_k} + 1} \right)\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + k + 1} \right)}} \\ & = \frac{{\Gamma \left( 1 \right)\Gamma \left( 2 \right) \ldots \Gamma \left( {{a_{k - 1}}} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k} \right)}}\frac{{\Gamma \left( {{a_k} + 1} \right)\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{k - 1}} + k} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + k + 1} \right)}} \\ & = \frac{{\Gamma \left( 1 \right)\Gamma \left( 2 \right) \ldots \Gamma \left( {{a_{k - 1}}} \right)\Gamma \left( {{a_k} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + k + 1} \right)}} \end{align*} Vậy \[W\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {{a_n} + 1} \right)\Gamma \left( {{a_{n - 1}} + 1} \right) \ldots \Gamma \left( {{a_1} + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} + n + 1} \right)}}\]


Cần lắm một bờ vai nương tựa


#3
thuylinh_909

thuylinh_909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Bạn ơi , latex bị lỗi rồi. Có phải thế này không ạ ?

 

File gửi kèm

  • File gửi kèm  222.pdf   116.52K   120 Số lần tải


#4
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Phải bạn


Cần lắm một bờ vai nương tựa





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh