Chủ đề này có 2 trả lời

[Kira Tatsuya]

Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ thỏa điều kiện : $x^2+xy+y^2\leq3$. Chứng minh :

$-4\sqrt{3}-3\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}-3$

[quangnghia]

Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ thỏa điều kiện : $x^2+xy+y^2\leq3$. Chứng minh :

$-4\sqrt{3}-3\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}-3$

Đặt $A=x^{2}+xy+y^{2}$, $B=x^{2}-xy-3y^{2}$

Nếu y=0 thì $B=x^{2}\Rightarrow 0\leq B\leq 3$ (đúng)

Nếu y khác 0 thì đặt $t=\frac{x}{y}$ ta được: $B=A.\frac{x^{2}-xy-3y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}=A.\frac{t^{2}-t-3}{t^{2}+t+1}$

Xét $\frac{t^{2}-t-3}{t^{2}+t+1}=m$

$\Leftrightarrow (m-1)t^{2}+(m+1)t+m+3=0$

Pt này có nghiệm kia m=1 hay $\Delta \geq 0$

$\Rightarrow \frac{-3-\sqrt{48}}{3}\leq m\leq \frac{-3+\sqrt{48}}{3}$

Mà do $0\leq A\leq 3\Rightarrow -3-4\sqrt{3}\leq m\leq -3+\sqrt{48}$

[Kira Tatsuya]

cảm ơn nha