Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$.Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}= 1$
#1
Đã gửi 03-11-2015 - 20:56
Master Kaiser
-
- Thành viên
-
- 265 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 03-11-2015 - 21:16
Phanbalong
-
- Thành viên
-
- 216 Bài viết
Thượng sĩ
Xét $x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}$
$y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2}$
Đến đây ok rồi 
'' Để Đạt Được Thành Tích Bạn Chưa Từng Đạt Được, Bạn Phải Làm Những Việc Mà Bạn Chưa Tứng Làm''
#3
Đã gửi 03-11-2015 - 22:12
Hoang Duc Thinh
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Áp dụng $BĐT$ $Schawrz$ ta có :
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\leq (x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)$
rồi đó !
- Master Kaiser yêu thích
#4
Đã gửi 03-11-2015 - 22:16
Hoang Duc Thinh
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Xét $x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2}$
$y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2}$
Đến đây ok rồi
À bạn ơi đầu bài $x,y$$\in \mathbb{R}$ chứ không chắc đã dương nên $Cauchy$ không ổn.
- Phanbalong và Master Kaiser thích
#5
Đã gửi 03-11-2015 - 22:27
Phanbalong
-
- Thành viên
-
- 216 Bài viết
Thượng sĩ
Đúng nhỉ , chủ quan tí
- Master Kaiser yêu thích
'' Để Đạt Được Thành Tích Bạn Chưa Từng Đạt Được, Bạn Phải Làm Những Việc Mà Bạn Chưa Tứng Làm''
#6
Đã gửi 04-11-2015 - 12:18
leminhnghiatt
-
- Thành viên
-
- 1078 Bài viết
Thượng úy
Theo BĐT Bu-nhi-a:
$x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y \leqslant \sqrt{(x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)}=1$
Dấu = xảy ra $=>\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$
$=> x^2+y^2=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-11-2015 - 12:19
- Master Kaiser và dunghoiten thích
Don't care
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
