Chủ đề này có 5 trả lời

[trubatgioi]

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $ab + bc + ca = 1$.Chứng minh rằng

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 06-11-2015 - 21:13

[royal1534]

 

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng

1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/ (c+a) >= 5/2.

 

Áp dụng bđt Iran 96 ta có 

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}} \geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{9}{4}$

Ta cần chứng minh $\frac{2}{(a+b)(b+c)}+\frac{2}{(b+c)(c+a)}+\frac{2}{(c+a)(a+b)} \geq 4$

Bất đẳng thức này $\leftrightarrow xyz \geq 0$

Vậy bài toán được chứng minh.Dấu '=' xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và các hoán vị

P/s:1,Bạn gõ lại latex đi 

      2,Cách chứng minh bđt Iran 96 bạn xem tại đây

[Tuan Duong]

Viết khai triển ra cho các bạn dễ hiểu nhé $($1/(a+b)+1/(c+b)+1/(a+c)$)^2$ = $1/(a+b)^2 +1/(c+b)^2+1/(c+a)^2 + 2/(a+b)(c+b) +2/(a+b)(c+a)+2/(c+a)(c+b)$$>= 9/4(ab+bc+ca)+4 =9/4$ +4=$25/16$ => ($1/(a+b)+1/(c+b)+1/(a+c)$)$>=$5/2

[longatk08]

Với $a,b,c \geq 0$, $ab+bc+ac=1$.Ta có các kết quả tương tự sau:

 

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$

 

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{3}{a+b+c}\geq 4$$

 

$$ \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{5}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 07-11-2015 - 16:49

[trubatgioi]

Áp dụng bđt Iran 96 ta có 

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}} \geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{9}{4}$

Ta cần chứng minh $\frac{2}{(a+b)(b+c)}+\frac{2}{(b+c)(c+a)}+\frac{2}{(c+a)(a+b)} \geq 4$

Bất đẳng thức này $\leftrightarrow xyz \geq 0$

Vậy bài toán được chứng minh.Dấu '=' xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và các hoán vị

P/s:1,Bạn gõ lại latex đi 

      2,Cách chứng minh bđt Iran 96 bạn xem tại đây

hay qua. thanks! bai nay cong nhan kho

[trubatgioi]

Với $a,b,c \geq 0$, $ab+bc+ac=1$.Ta có các kết quả tương tự sau:

 

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$

 

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{3}{a+b+c}\geq 4$$

 

$$ \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{5}{2}$$

Bạn cho mình lời giải các bài này luôn được không? thanks bạn nhiều!