Chủ đề này có 2 trả lời

[SuperReshiram]

Cho $x, y, z$ dương và $xyz=1$. Chứng minh $\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuperReshiram: 06-11-2015 - 22:04

[babylearnmathmv]

áp dụng bđt bunhiacopski dạng phân thức ta có $VT\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x+y+z}$

bđt cần cm tương đương với $2(x+y+z)^{2} \geq 9+3(x+y+z)$

do xyz=1 ~> x+y+z>=3 ~> (x+y+z)²>=3(x+y+z)>=9 suy ra đpcm

dấu bằng có khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babylearnmathmv: 08-11-2015 - 16:53

[CaptainCuong]

Cho $x, y, z$ dương và $xyz=1$. Chứng minh $\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}

Áp dụng BĐT Cauchy cho $\frac{x^{2}}{1+y}$ và $\frac{1+y}{4}$, ta có:

$\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{1+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{1+y}.\frac{1+y}{4}}=x$

Tương tự, ta có:

$\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+x}{4}\geq z$

$\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq y$ 

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\geq x+y+z$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3(x+y+z)-3}{4}\geq \frac{3.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\frac{3}{2}$