Chủ đề này có 4 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Cho $x,y\geq 0$ thỏa $x+y=1$.Tìm $GTLN,GTNN$ của biểu thức:

                 $S=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy$

 

2/Cho $x,y\in R$ thỏa $x^2+y^2=1$.Tìm $GTLN,GTNN$ của biểu thức:

                 $P=\frac{2(x^2+6xy)}{1+2xy+2y^2}$

 

3/Cho $a\geq b>0$.Chứng minh rằng:

                     $(2^a+\frac{1}{2^a})^b\leq (2^b+\frac{1}{2^b})^a$

[Kira Tatsuya]

bài 1: $S = (4x^2+3y)(4y^2+3x) +25xy\\ =16(xy)^2 + 12(x^3+y^3) +34xy\\=16(xy)^2+12[(x+y)(x^2-xy+y^2)]+34xy\\=16(xy)^2 +12 [(x+y)^2-3xy]+34xy\\ =16(xy)^2-2xy+12$

ta đánh giá $xy$, dễ thấy $xy\geq0$, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy,\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$, vậy giá trị max và min đạt tại $xy=\frac{1}{16}$ và $xy=1/4$, (do đỉnh của hàm số thuộc khoảng này)

vậy $min =11,9375$ tại $x.y=\frac{1}{16} $ , còn $max=12,5$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 07-11-2015 - 21:45

[Minhnguyenthe333]

p

bài 1: $S = (4x^2+3y)(4y^2+3x) +25xy\\ =16(xy)^2 + 12(x^3+y^3) +25xy\\=16(xy)^2+12[(x+y)(x^2-xy+y^2)]+25xy\\=16(xy)^2 +12 [(x+y)^2-3xy]+25xy\\ =16(xy)^2-11xy+12$
ta đánh giá $xy$, dễ thấy $xy\geq0$, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy,\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$, vậy giá trị max và min đạt tại $xy=0$ hoặc $xy=1/4$, (do đỉnh của hàm số không thuộc khoảng này)
vậy $max =12$ tại $x=0,y=1 $ hoặc ngược lại, còn $min=10,25$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

sai rồi bạn ạ

[Kira Tatsuya]

thế giải thế nào vậy bạn ???, phân tích nhầm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 07-11-2015 - 20:52

[Minhnguyenthe333]

thế giải thế nào vậy bạn ???, phân tích nhầm .

bạn chỉ sai phần phân tích $S$ thôi, chứ dùng bđt cauchy đúng rồi