Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{2x-1}-\sqrt{y}=x-1 \\ x^{3}+y^{3}+7(x+y)xy=8xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \end{matrix}\right.$
#2
Đã gửi 07-11-2015 - 17:38
Quoc Tuan Qbdh
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1005 Bài viết
DragonBoy
Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{2x-1}-\sqrt{y}=x-1 \\ x^{3}+y^{3}+7(x+y)xy=8xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: $x\geq 1;y\geq0$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:
$x^{3}+y^{3}+7(x+y)xy=(x+y)^{3}+4xy(x+y)\geq 4\sqrt(x+y)^{2}\sqrt{xy} = 8xy.\sqrt{xy}+4(x^{2}+y^{2})\sqrt{xy} \geq 8xy \sqrt{2(x^{2}+y^{2}}$
Vì vậy hệ tương đương
$\left\{\begin{matrix}x=y \\ \sqrt[4]{2x-1}-\sqrt{y}=x-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y \\ -\sqrt[4]{2x-1}+\sqrt{x}+x-1=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y \\ (x-1)(\frac{x-1}{\sqrt{x}^{3}+x\sqrt[4]{2x-1}+\sqrt{x}\sqrt{2x-1}+\sqrt[4]{(2x-1)^{3}}}+1)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1(TM)$
Vì phần trong ngoặc $>0$
- hoangson2598, quan1234, congdaoduy9a và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
