Gọi $A'$ là trung điểm $BC$
Và $M,N,P$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh $BC,AB,AC$
Do $p-b=BM$ và $p-a=AN$ nên từ tam giác vuông $IMA'$ ta có $MA'=\frac{b-c}{2}$ và $IA'=\frac{1}{2}\sqrt{4r^2+(b-c)^2}$
Từ tam giác vuông $INA$ có : $IA=\sqrt{r^2+(p-a)^2}$
Theo định lý Stewart cho tam giác $IAA'$ được:
$IA^2.GA'+IA'^2.AG-IG^2.AA'=AG.GA'.AA'$ .Chú ý $AG=\frac{2}{3}AA' ; GA'=\frac{1}{3}AA' ; AA'=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$
Từ đó biến đổi để suy ra $IG=\frac{1}{3}\sqrt{9r^2-3p^2+2(a^2+b^2+c^2)}$
Áp dụng hệ thức lượng quen thuộc $2(a^2+b^2+c^2)=4(p^2-r^2-4Rr)$ .Từ đó suy ra công thức cần cm