Chủ đề này có 1 trả lời

[STARLORD]

Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh $\vec{MH}.\vec{MA}=\frac{1}{4}BC^{2}$

[hkh172]

H là trực tâm tam giác ABC. Ta có: $\underset{HB}{\rightarrow}.\underset{AC}{\rightarrow}=0,\underset{HC}{\rightarrow}.\underset{AB}{\rightarrow}=0,\underset{HA}{\rightarrow}.\underset{BC}{\rightarrow}=0$

Ta có: $\underset{MH}{\rightarrow}.\underset{MA}{\rightarrow}=\frac{1}{4}BC^{2}\Rightarrow (\underset{HB}{\rightarrow}+\underset{HC}{\rightarrow}).(\underset{AB}{\rightarrow}+\underset{AC}{\rightarrow})=BC^{2}\Rightarrow \underset{HB}{\rightarrow}.\underset{AB}{\rightarrow}+\underset{HC}{\rightarrow}.\underset{AC}{\rightarrow}=(\underset{HC}{\rightarrow}-\underset{HB}{\rightarrow})^{2}\Rightarrow \underset{HB}.(\underset{HB}{\rightarrow}-\underset{HA}{\rightarrow})+\underset{HC}{\rightarrow}.(\underset{HC}{\rightarrow}-\underset{HA}{\rightarrow})=(\underset{HC}{\rightarrow}-\underset{HB}{\rightarrow})^{2}$

Chuyển vế, phân tích ta được: $\underset{HC}{\rightarrow}.\underset{AB}{\rightarrow}-\underset{HB}{\rightarrow}.\underset{AC}{\rightarrow}=0$(hiển nhiên)$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hkh172: 12-11-2015 - 23:04