Chủ đề này có 7 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

[quangbinng]

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

 

Bài này đã từng xem giải rồi mà nghĩ mãi chả ra, nhớ mang máng là sử dụng số phức, mình biến đổi được:

 

$(A-xB)(A+x^2B)=x(AB-BA)$ rồi,

xong bí,

[WhjteShadow]

Ở đây $A,B$ là ma trận trong trường số thực à bạn ?

[vo van duc]

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$
Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

Đề bài ko nói rõ ma trận $A$ và $B$ là thực hay phức thì ta hiểu ngầm đó là ma trận thực Đạt à!

Sau đây, xin chia sẽ lời giải bài toán tôi sưu tầm!

Đặt $$S=A+\omega B$$ với $\omega =-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $$\bar{S}=A+\bar{\omega}B$$ Ta có $$S.\bar{S}=\omega(BA-AB)$$ vì $$\bar{\omega}=-\omega-1$$.
Suy ra $$\det (S.\bar{S})=\omega ^n\det (BA-AB)$$ Mà $$\det (S.\bar{S})=\det S.\det \bar{S}=|\det S|^2$$ là một số thực và $\det (BA-AB)\neq 0$ nên $$\omega ^n=\frac{|\det S|^2}{\det (BA-AB)}$$ là một số thực.
Mặc khác $$\omega ^n=\cos \frac{2n\pi}{3}+i\sin \frac{2n\pi}{3}$$ Suy ra $n$ là bội số của 3.

Ps: Bạn vanchanh123 đã phát hiện một chỗ sai và tôi đã sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 06-12-2015 - 03:16

[An Infinitesimal]

 

 

$$\det (S.\bar{S})=\det S.\det \bar{S}=|\det S|^2$$ chứ nhỉ?

[vo van duc]

 

$$\det (S.\bar{S})=\det S.\det \bar{S}=|\det S|^2$$ chứ nhỉ?

 

Ký hiệu $|\det S|$ là mô đun của số phức $\det S$.

[An Infinitesimal]

Ký hiệu $|\det S|$ là mô đun của số phức $\det S$.

Với $z=(a,b)\in \mathbb{C}$, ta có $z \bar{z}=|z|^2=a^2+b^2$ hay điều ở trên là một điều khác?

[vo van duc]

Tôi viết sai! Cảm ơn bạn đã phát hiện!