Chủ đề này có 5 trả lời

[zzhanamjchjzz]

cho $x>1$ $y>1$ $z>1$ thõa $xyz=x+y+z$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

 $P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 09-11-2015 - 20:48

[hoctrocuaHolmes]

cho $x>1$ $y>1$ $z>1$ thõa $xyz=x+y+z$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

 $P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Áp dụng AM-GM ta có:$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có:

$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$

$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

Suy ra $P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$

[royal1534]

Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Áp dụng AM-GM ta có:$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có:

$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$

$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

Suy ra $P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$

Bạn có ý tưởng gì để giải bài này không bạn

[robot3d]

Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Áp dụng AM-GM ta có:$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$

Áp dụng Bunhiacopxki ta có:

$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$

$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

Suy ra $P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$

nhìn hoa cả mắt bác ạ!      thấy mỗi xichma. khai triển giúp dc không bác?  

[Phanbalong]

Bạn có ý tưởng gì để giải bài này không bạn

Bài này tớ thấy nhiều sách rồi nhưng cách giải thì cũng chỉ có cách này mà vẫn ko thể hiểu nổi hướng 

[hoctrocuaHolmes]

Bạn có ý tưởng gì để giải bài này không bạn

 

Theo mình thì ý tưởng của bài này là như sau:

Khi giả thiết cho $x+y+z=xyz$ thì ý nghĩ đầu tiên là ta sẽ biến đổi thành $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Từ đẳng thức vừa biến đổi ta suy nghĩ đến 2 bất đẳng thức phụ quen thuộc cm bằng cách sd Bunhiacopxki là $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$ và $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\leq \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$.

Từ đó ta cần phải biến đổi biểu thức $P$ để phù hợp với hướng nghĩ trên.Do đó từ $P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$ ta cần thêm bớt phù hợp,khi đó ta sẽ có $P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}$

Đến đây hoàn toàn tự nhiên ta sẽ áp dụng AM-GM cho $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$ từ đó biến đổi và sử dụng thêm 2 bất đẳng thức phụ trên ta có lời giải của bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 09-11-2015 - 21:34