Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 tranwhy

tranwhy

    Sĩ quan

  • Banned
  • 481 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 10-11-2015 - 20:46

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. Tìm GTNN của: 

$P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$


Visit My FB: https://www.facebook.com/OnlyYou2413                                                                                                                


#2 HoangVienDuy

HoangVienDuy

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp , Quảng Bình
  • Sở thích:đi phượt

Đã gửi 10-11-2015 - 21:54

$(1+a)(1+b)\leq \frac{(2+a+b)^{2}}{4}\Leftrightarrow 1\leq a+b$

áp dụng bđt Mincowsky ta có: $P\geq \sqrt{4+(a^{2}+b^{2})^{2}}\geq \sqrt{17/4}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 10-11-2015 - 22:16

Có một người đi qua hoa cúc

Có hai người đi qua hoa cúc

Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...

FB:https://www.facebook.com/hoang.vienduy


#3 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 10-11-2015 - 22:07

$(1+a)(1+b)\leq \frac{(2+a+b)^{2}}{4}\Leftrightarrow 1\leq a+b$

áp dụng bđt Mincowsky ta có: $P\geq \sqrt{4+(a+b)^{2}}\geq \sqrt{5}$ 

Thất bại part $2$ :(

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. Tìm GTNN của: 

$P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$

Theo BĐT $Mincowxki$ và $AM-GM$ thì

$P=\sqrt{1^{2}+(a^{2})^{2}}+\sqrt{1^{2}+(b^{2})^{2}} \geq \sqrt{(1+1)^{2}+(a^{2}+b^{2})^{2}} \geq \sqrt{4+\frac{(a+b)^{4}}{4}}=\sqrt{4+\frac{(a+1+b+1-2)^{4}}{4}} \geq \sqrt{4+\frac{(2\sqrt{(1+a)(1+b)}-2)^{4}}{4}}= \sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 20-03-2016 - 22:03


#4 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 10-11-2015 - 22:37

Một cách dùng $AM-GM$

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. Tìm GTNN của: 

$P=\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}$

Ta có : $4P=\sqrt{16+16a^{4}}+\sqrt{16+16b^{4}} \geq 2 \sqrt[4]{(13+(3+16a^{4}))(13+(3+16a^{4}))} \geq 2 \sqrt[4]{(5+8(1+a))(5+8(1+b))}$

$=2\sqrt[4]{25+64(1+a)(1+b)+40((1+a)+(1+b))} \geq 2\sqrt[4]{167+80\sqrt{(1+a)(1+b)}}= 2\sqrt[4]{287}=2\sqrt{17}$

Suy ra : $P \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Khi $a=b=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-11-2015 - 22:44


#5 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-11-2015 - 20:51

Một cách dùng $AM-GM$

Ta có : $4P=\sqrt{16+16a^{4}}+\sqrt{16+16b^{4}} \geq 2 \sqrt[4]{(13+(3+16a^{4}))(13+(3+16a^{4}))} \geq 2 \sqrt[4]{(5+8(1+a))(5+8(1+b))}$

$=2\sqrt[4]{25+64(1+a)(1+b)+40((1+a)+(1+b))} \geq 2\sqrt[4]{167+80\sqrt{(1+a)(1+b)}}= 2\sqrt[4]{287}=2\sqrt{17}$

Suy ra : $P \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Khi $a=b=\frac{1}{2}$

bạn giải thích kĩ bước đầu đi!



#6 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 26-05-2019 - 12:47

HAY



#7 Hoanganh3001

Hoanganh3001

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 21-06-2019 - 03:02

\frac{a}{b}




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh