Đến nội dung

Hình ảnh

$n^3 | 3^n - 1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n^3 | 3^n - 1$


              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#2
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Tìm n nguyên dương thỏa mãn: $n^3 | 3^n-1$

Thấy $n=1$ là một nghiệm

Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$

Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$

Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$

Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$

Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$

                                $\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$

$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$

Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$

Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$

$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$

Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 21-11-2015 - 18:32

"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#3
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Thấy $n=1$ là một nghiệm

Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$

Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$

Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$

Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$

Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$

                                $\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$

$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$

Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$

Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$

$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$

Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$

Cảm ơn bạn

Có bài thay số 3 bằng số 2, nhưng chúng vẫn là số nguyên tố, và cách giải cx gần giống như trên

Vậy phải chăng có bài nào mà tổng quát ko bạn nhỉ?

Tìm số nguyên tố p và số tự nhiên n thỏa mãn : $n^p | p^n - 1$ 


              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#4
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Cảm ơn bạn

Có bài thay số 3 bằng số 2, nhưng chúng vẫn là số nguyên tố, và cách giải cx gần giống như trên

Vậy phải chăng có bài nào mà tổng quát ko bạn nhỉ?

Tìm số nguyên tố p và số tự nhiên n thỏa mãn : $n^p | p^n - 1$ 

mình cũng không có nhiều kinh nghiệm lắm đâu bạn

Theo mình thì những bài kiểu kiểu như thế này thì ta sẽ hay sử dụng kiến thức về LTE, cấp số, căn nguyên thủy, Fermat, vv ....


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#5
30 minutes

30 minutes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

Thấy $n=1$ là một nghiệm

Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$

Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$

Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$

Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$

Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$

                                $\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$

$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$

Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$

Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$

$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$

Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$

Sao lại có đoạn này vậy cậu ?????


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 30 minutes: 23-11-2015 - 18:48

:wub:  Nguyễn Thùy Dung  :wub: 


#6
30 minutes

30 minutes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết

mình cũng không có nhiều kinh nghiệm lắm đâu bạn

Theo mình thì những bài kiểu kiểu như thế này thì ta sẽ hay sử dụng kiến thức về LTE, cấp số, căn nguyên thủy, Fermat, vv ....

dùng phéc ma hở bạn


:wub:  Nguyễn Thùy Dung  :wub: 


#7
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Thấy $n=1$ là một nghiệm

Xét $n>1$. Dễ thấy $(n,3)=1$

Gọi $p$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $n$ $(p\neq 3)$. Đặt $ord_p(3)=h$

Ta có $\left\{\begin{matrix} p|3^{p-1}-1 & & \\ p|3^n-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}h|p-1 & & \\ h|n & & \end{matrix}\right.\rightarrow h|(n,p-1)\rightarrow h|1\rightarrow h=1\rightarrow p|3-1\rightarrow p=2$

Đặt $n=2^x.d, (x\geq 1;(d,2)=1;(d,3)=1)$

Do $2^{3x}|3^{2^x.d}-1$, $\rightarrow v_2(3^{2^x.d}-1)\geq 3x\rightarrow 3x\leq v_2(3^2-1)+v_2(2^x.d)-1=3+x-1=x+2$

                                $\rightarrow x\leq 1\rightarrow x=1$

$\rightarrow n=2d$. Giả sử $d>1$

Gọi $q$ là ước số nguyên tố nhỏ nhất của $d$ $(q \neq 2,3)$. Đặt $ord_q(3)=k$

Ta có $\left\{\begin{matrix}q|3^n-1 & & \\ q|3^{q-1}-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}k|2d & & \\ k|q-1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow k|(2d,q-1)\rightarrow y|2 \rightarrow q|3^2-1\rightarrow q|8$ (vô lí vì $(q,2)=1$

$\rightarrow d=1 \rightarrow n=2$

Đáp số $n\in \left \{ 1,2 \right \}$

Ừ nhỉ, chỗ này hình như có vấn đề rồi bạn, bạn thử thay d=5 , x=2 là thấy nó sai


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 24-11-2015 - 21:38

              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#8
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Ừ nhỉ, chỗ này hình như có vấn đề rồi bạn, bạn thử thay d=5 , x=2 là thấy nó sai

Không thể thử như vậy vì ta điều kiện đề bài không thỏa mãn với mọi $x,d$

Vì $n^3|3^n-1$, mà $n=2^xd$ nên $2^{3x}|2^{3x}d^3|3^{2^xd}-1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh