Cho x z y dương thõa $xyz=1$ Tìm giá trị lớn nhất của:
$P=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 10-11-2015 - 22:17
Cho x z y dương thõa $xyz=1$ Tìm giá trị lớn nhất của:
$P=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 10-11-2015 - 22:17
Từ gt $xyz=1$ ta đặt
$x=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ ; $y=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}}$ ; $x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}$
Suy ra $P=\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}$
Ta có $(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (\sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(c+a)}\leq \frac{9}{2}$
vì bđt $8(a+b+c)(ab+bc+ac)=8(a+b)(b+c)(c+a)+8abc\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$
Từ đó $P\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Vậy $MaxP=\frac{3}{\sqrt{2}}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh