Chủ đề này có 2 trả lời

[Nhok Tung]

Cho các số dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn :
$\frac{\sqrt{ab}+1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{bc}+1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ca}+1}{\sqrt{c}}$
Chứng minh rằng $abc = 1$

[Nhok Tung]

M.n giúp vs ạ.

[chaubee2001]

tui đây

Giải:

+)Với $a,b,c>0$ và đôi một khác nhau, ta có: 

$\frac{\sqrt{ab}+1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{bc}+1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ca}+1}{\sqrt{c}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{c}}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{c}}\\\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{a}} \\\sqrt{c}-\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{\sqrt{ac}}\\\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} \\\sqrt{c}-\sqrt{a}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{\sqrt{ac}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}.\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$

$\Leftrightarrow(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{c}-\sqrt{a})=\frac{(\sqrt{c}-\sqrt{a})(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{abc}(1)$

Do $a,b,c>0$ và đôi một khác nhau nên (1) xảy ra khi và chỉ khi $abc=1$(đpcm)