Chủ đề này có 4 trả lời

[studentlovemath]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$.
Tìm GTNN của $Q=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}$

P/s: Làm ơn giải bài này theo kiến thức lớp 10 ạ.

[tcqang]

Trước tiên, đổi biến để có vai trò bình đẳng. Ta đặt a = 2x; b = y thì được (1+x)(1+y) = 9/4. Dùng cauchy ta được:

$\frac{9}{4}\leq \left ( \frac{x+y+2}{2} \right )^2$

$\Rightarrow x+y\geq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}$

Tiếp theo ta sẽ dùng BĐT vecto, bằng cách chọn 2 vecto 

$\vec{u}(1;x^2) ; \vec{v}(1;y^2). Do |\vec{u}|+|\vec{v}|\geq |\vec{u}+\vec{v}| \\ \Rightarrow Q\geq 4\sqrt{(1+1)^2 + (x^2+y^2)^2}\geq 2\sqrt{17}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 18-12-2015 - 02:00

[quoccuonglqd]

Thay $(a,b)\rightarrow (2x,y)$,từ điều kiện ta có $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

$Q=4(\sqrt{1+x^{4}}+\sqrt{1+y^{4}})$

$\rightarrow \frac{Q}{4}\sqrt{\frac{17}{16}}=\sqrt{1+x^{4}}.\sqrt{1+\frac{1}{16}}+\sqrt{1+y^{4}}.\sqrt{1+\frac{1}{16}}\geq 1+\frac{x^{2}}{4}+1+\frac{y^{2}}{4}\geq \frac{17}{8}$

$\rightarrow Q\geq 2\sqrt{17}$

[quynhquynh]

Trước tiên, đổi biến để có vai trò bình đẳng. Ta đặt a = 2x; b = y thì được (1+x)(1+y) = 9/4. Dùng cauchy ta được:

$\frac{9}{4}\leq \left ( \frac{x+y+2}{2} \right )^2$

$\Rightarrow x+y\geq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}$

Tiếp theo ta sẽ dùng BĐT vecto, bằng cách chọn 2 vecto 

$\vec{u}(1;x^2) ; \vec{v}(1;y^2). Do |\vec{u}|+|\vec{v}|\geq |\vec{u}+\vec{v}| \\ \Rightarrow Q\geq 4\sqrt{(1+1)^2 + (x^2+y^2)^2}\geq 2\sqrt{17}$

chỗ đây là sao v bạn?

[tcqang]

chỗ đây là sao v bạn?

Mình áp dụng BDT $(x^2 + y^2) \ge \frac{(x+y)^2}{2}$ thui bạn