Nhiều thành phố được thiết kế theo dạng lưới, các dãy phố gần giống hình vuông. Các đường kẻ màu xám trong sơ đồ sau đây đại diện cho đường phố.
Một tài xế taxi cần đi từ điểm $C$ đến điểm $B$. Cô quyết định đi theo con đường sau (tùy thuộc vào kiến thức địa phương của cô về giao thông và đường phố,…): Cô đứng về hướng Bắc, dọc theo $CD$, rẽ hướng Đông qua $DF$, rồi rẽ qua hướng Bắc một lần nữa, và cứ vậy cho tới khi cô đến $B$.
Hoặc đơn giản hơn, cô đi từ $C$ đến $A$, rồi $A$ qua $B$. Nếu $CA=AB=1 km,$ tổng hành trình là 2 km bất chấp cô đi con đường nào. (Khoảng cách $CD=200 m$ và có 10 khối như vậy, do đó tổng khoảng cách là 2 km).
Vấn đề này đã hình thành nên một loại hình học rất thú vị, đó là hình học Taxi, được Hernam Mikowiki đưa ra lần đầu tiên vào thế kỉ XIX.
I. CÓ BAO NHIÊU TUYẾN ĐƯỜNG?
Rõ ràng có nhiều cách khác nhau để đi từ $C$ đến $B$. Nếu chúng ta giả định cô là một taxi trung thực (và không bao giờ đi xa $B$), cô chỉ có thể đi theo hướng Bắc hoặc Đông.
Hãy xem xét quyết định đầu tiên của cô. Cô chỉ có thể đi hướng Bắc hoặc Đông, do đó cô 2 lựa chọn:
Bây giờ, nhìn vào 4 khối phố đầu tiên, chúng ta thấy có 6 lựa chọn:
Tiếp tục thêm nhiều hàng và cột của các khối thành phố, ta xác định số đường đi theo quy tắc trên là 2 (với $1\times 1$), 6 (với $2\times 2$), 20 (với $3\times 3$), 70 (với $40\times 40$).
Bạn có thể nhận ra các giá trị trên chính là giá trị giữa mỗi 2 hàng trong tam giác Pascal.
Kết quả này có liên quan đến phép đếm và chúng ta có thể thấy rằng đối với lưới $10\times 10$, tài xế sẽ có $C_{20}^{10}=184~756$ lựa chọn để đi từ $C$ đến $B$.
II. MỘT CÂU HỎI THÚ VỊ
Bây giờ ta có đường đi nhiều khúc cua hơn như sau:
Một lần nữa , tổng khoách cách là 2 km.
Để thỏa trí tò mò, nếu như ta đi theo các con đường đi qua giữa các khối nhà như sau, thì tổng khoảng cách là bao nhiêu?
Đáp án vẫn là 2 km.
Nhưng bây giờ chúng ta hãy lấy nhiều nhiều đường zig-zag nhỏ hơn như sau, đáp án vẫn 2 km.
Nhưng đâu là giới hạn của quá trình này? Có phải chúng ta sẽ đi theo đường chéo vì ta không thể lái xe theo hướng Bắc hay Đông vì đoạn đường quá nhỏ?
Và bây giờ giờ chúng ta có các câu hỏi rất thú vị: Nếu xe taxi di chuyển theo đường chéo thẳng, thì quãng đường taxi đi là bào nhiêu?
Vâng, $\sqrt{2},~$tất nhiên theo định lý Pythagoras.
Vì vậy, khoảng cách từ C đến B không còn là 2 km mà là khoảng 1.414 km, kém hơn 2 km một khoảng 0.586 km.
Vậy 0.586 km đó đã biến đi đâu?
Nguồn: http://www.intmath.c...b-geometry-4941
Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.
