Chủ đề này có 5 trả lời

[quynhly]

1.Cho a,b,c > o và abc=1. Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c}+ \frac{1}{1+a+b }\leqslant 1$

2.Cho x+y+z = o; x,y,z $\epsilon [-1;1]$. Chứng minh $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$

3.Cho a,b,c $\epsilon [0;1]$ .Chứng minh $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

4.Cho x,y,z $\epsilon [0;2]$.Chứng minh $2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leqslant 4$

5.Cho x,y,z $\geqslant 0$; x+y+x $\leqslant 3$.Chứng minh $\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leqslant \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhly: 14-11-2015 - 23:02

[Ngoc Hung]

1) Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$

Ta có $\frac{1}{1+b+c}=\frac{1}{b+\frac{1}{2}+c+\frac{1}{2}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{b+\frac{1}{2}}+\frac{1}{c+\frac{1}{2}} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1} \right )$

Tương tự ta có $\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}+\frac{1}{1+a+b}\leq \frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}$

Quy đồng và rút gọn rồi dùng BĐT Cô si 

[royal1534]

1) Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$

Ta có $\frac{1}{1+b+c}=\frac{1}{b+\frac{1}{2}+c+\frac{1}{2}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{b+\frac{1}{2}}+\frac{1}{c+\frac{1}{2}} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1} \right )$

Tương tự ta có $\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}+\frac{1}{1+a+b}\leq \frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}$

Quy đồng và rút gọn rồi dùng BĐT Cô si 

Cách khác:

Đặt $\sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z $

$\rightarrow xyz=1$

Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:

$\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1} \leq 1$

Đây là bất đẳng thức cực kì quen thuộc :v

[Kim Vu]

1.Cho a,b,c > o và abc=1. Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c}+ \frac{1}{1+a+b }\leqslant 1$

2.Cho x,y,z > o; x,y,z $\epsilon [-1;1]$. Chứng minh $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$

3.Cho a,b,c $\epsilon [0;1]$ .Chứng minh $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

4.Cho x,y,z $\epsilon [0;2]$.Chứng minh $2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leqslant 4$

5.Cho x,y,z $\geqslant 0$; x+y+x $\leqslant 3$.Chứng minh $\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leqslant \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

Câu 2 có x+y+z=0 mới chứng minh được chứ nhỉ 

[QDV]

Câu 2 có x+y+z=0 mới chứng minh được chứ nhỉ 

 

1.Cho a,b,c > o và abc=1. Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c}+ \frac{1}{1+a+b }\leqslant 1$

2.Cho x,y,z > o; x,y,z $\epsilon [-1;1]$. Chứng minh $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$

3.Cho a,b,c $\epsilon [0;1]$ .Chứng minh $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

4.Cho x,y,z $\epsilon [0;2]$.Chứng minh $2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leqslant 4$

5.Cho x,y,z $\geqslant 0$; x+y+x $\leqslant 3$.Chứng minh $\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leqslant \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

Câu 5

Đặt $A_{0}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z},A_{1}=\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

Ta có

$6A_{0}\geq (x+1+y+1+z+1)A\geq 9\Rightarrow A_{0}\geq \frac{3}{2}"="\Leftrightarrow x=y=z=1$ (1)

Lưu ý  $a+\frac{1}{a}\geq 2, \forall a> 0,"="\Leftrightarrow a=1$

$A_{1}=\frac{1}{\frac{1}{x}+x}+\frac{1}{\frac{1}{y}+y}+\frac{1}{\frac{1}{z}+z}\leq \frac{3}{2},"="\Leftrightarrow x=y=z=1$ (2)

 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Hãy mở rộng bài toán với ĐK như trên. Đặt

$A_{k}=\frac{x^{k}}{1+x^{k+1}}+\frac{y^{k}}{1+y^{k+1}}+\frac{z^{k}}{1+z^{k+1}}, tìm k để A_{k}\geq \frac{3}{2}$

[tpdtthltvp]

1.Cho a,b,c > o và abc=1. Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c}+ \frac{1}{1+a+b }\leqslant 1$

2.Cho x,y,z > o; x,y,z $\epsilon [-1;1]$. Chứng minh $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$

3.Cho a,b,c $\epsilon [0;1]$ .Chứng minh $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

4.Cho x,y,z $\epsilon [0;2]$.Chứng minh $2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leqslant 4$

5.Cho x,y,z $\geqslant 0$; x+y+x $\leqslant 3$.Chứng minh $\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leqslant \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

5.Có thể chia ra:

+)$\sum \frac{x}{1+x^2}\leq \sum \frac{x}{2x}=\frac{3}{2}$(áp dụng Cô-si)

+)$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{9}{3+\sum x}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$

Dấu"=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 14-11-2015 - 19:44