Chủ đề này có 1 trả lời

[Goddess Yoong]

CMR:

$1C\binom{1}{n}^{2}+ 2C\binom{2}{n}^{2}+ 3C\binom{3}{n}^{2}+...+nC\binom{n}{n}^{2}= nC\binom{n-1}{2n-1}$

[quanguefa]

Ta có: $k.(C_{n}^{k}\textrm{})^{2}=k.C_{n}^{k}\textrm{}.C_{n}^{k}\textrm{}=n.C_{n-1}^{n-k}\textrm{}.C_{n}^{k}\textrm{}$

Ta cần chứng minh: $\sum C_{n-1}^{n-k}\textrm{}.C_{n}^{k}\textrm{}=C_{2n-1}^{n}\textrm{}$

Thật vậy $\sum C_{n-1}^{n-k}\textrm{}.C_{n}^{k}\textrm{}$ là hệ số của $x^{n}$ trong khai triển $(x+1)^{n}.(x+1)^{n-1}$ còn $C_{2n-1}^{n}\textrm{}$ là hệ số của $x^{n}$ trong khai triển $(x+1)^{2n-1}$

Đẳng thức được chứng minh