Chủ đề này có 8 trả lời

[Kim Vu]

       UBND HUYỆN HOA LƯ                                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP9 (Vòng 2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              NĂM HỌC:2015-2016

                                                                                                                                         MÔN TOÁN

                                                                                                      Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         (Đề thi gồm 06 câu,01 trang)

Câu 1 (4 điểm)

a)Tính giá trị biểu thức

A=$(\frac{\sqrt[4]{2010^2}-\sqrt[4]{2010}}{1-\sqrt[4]{2010}}+\frac{1+\sqrt{2010}}{\sqrt[4]{2010}})^2-\frac{\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{2010}}+\frac{1}{2010}}}{1+\sqrt{2010}}$

b)Cho parabol $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=(3-m)x+2-2m$(m là tham số)

1)Chứng minh rằng với $m\neq -1$ thì $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt A và B

2)Gọi $y_{A},y_{B}$ lần lượt là tung độ các điểm A,B.Tìm m để  $\left |y_{A}-y_{B}  \right |=2$

Câu 2(4 điểm) Giải các phương trình sau:

a)$10\sqrt{x^3+1}=3x^2+6$

b)$x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}=3$

Câu 3(2 điểm)

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:

$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2015}$

Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) \geq 2015$

Câu 4(2 điểm)

Tìm tất cả các số hữu tỉ $x$ sao cho giá trị biểu thức $x^2+x+6$ là một số chính phương.

Câu 5(6 điểm)

1)Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$.Các đường cao $BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại $H$.

a)CM: $BH.BE+CH.CF=BC^2$

b)Gọi $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$.CM: $K$ thuộc $(O)$

2)Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$,một điểm $I$ chuyển động trên cung $BC$ không chứa điểm $A$($I$ không trùng $B,C$). 2 đường thẳng vuông góc với $IB,IC$ tại $I$ lần lượt cắt $AB,AC$ ở $F,E$.CMR:Đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 6(2 điểm)

Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.

 

[Dinh Xuan Hung]

 

       UBND HUYỆN HOA LƯ                                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP9 (Vòng 2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              NĂM HỌC:2015-2016

                                                                                                                                         MÔN TOÁN

                                                                                                      Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         (Đề thi gồm 06 câu,01 trang)

 

 

Câu 3(2 điểm)

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:

$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2015}$

Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) \geq 2015$

 

 

Ta có:$\left ( abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d \right )^2=2015$

 

$\Leftrightarrow \left [ ab(d+c)+cd(a+b)-(a+b)-(c+d) \right ]^2=2015$

 

$\Leftrightarrow \left [ (c+d)(ab-1)+(a+b)(cd-1) \right ]^2=2015$

 

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$2015= \left [ (c+d)(ab-1)+(a+b)(cd-1) \right ]^2$

 

$\leq \left [ (c+d)^2+(cd-1)^2 \right ]\left [ (a+b)^2+(ab-1)^2 \right ]$

 

$=(a^2+b^2+a^2b^2+1)(c^2+d^2+c^2d^2+1)$

 

$=\prod (a^2+1)$

 

P/s:Sao đề này gần giống đề chọn lần 2 năm ngoái vậy chỉ có cải biên thôi.Cô nào ra đề vậy? Chắc là cô Tuyết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-11-2015 - 15:44

[vta00]

Đặt $x=\frac{a}{b},a\in Z,b\in N^{*},(a,b)=1$,nếu $b\neq 1$ do $n^2+n+1$ là số chính phương và $n$ là số hữu tỉ nên $n^2+n$ là số tự nhiên nên $n(n+1)=\frac{a}{b}(\frac{a+b}{b})$,vì $(a+b,b)=(a,b)$ nên nó không thể là số tự nhiên suy ra $b=1$,vậy $n$ là số tự nhiên. Hiển nhiên $n=0$ không thỏa mãn,ta có $n^2<n^2+n+6<(n+2)^2$ nên $n^2+n+6=(n+1)^2$ tương đương $n=5$.

[Dinh Xuan Hung]

 

       UBND HUYỆN HOA LƯ                                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP9 (Vòng 2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              NĂM HỌC:2015-2016

                                                                                                                                         MÔN TOÁN

                                                                                                      Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         (Đề thi gồm 06 câu,01 trang)

 

Câu 2(4 điểm) Giải các phương trình sau:

a)$10\sqrt{x^3+1}=3x^2+6$

b)$x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}=3$

 

 

a)Ta có:$10\sqrt{x^3+1}=3x^2+6\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=3(x^2-x+1)+3(x+1)(1)$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1}(a>0) & & \\ b=\sqrt{x^2-x+1}(b>0) & & \end{matrix}\right.$

 

PT (1) trở thành:$3a^2+3b^2=10ab\Leftrightarrow 3a(a-3b)-b(a-3b)=\Leftrightarrow (a-3b)(b-3a)=0$

 

Đến đây đơn giản rồi

[minhrongcon2000]

 

       UBND HUYỆN HOA LƯ                                                                       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP9 (Vòng 2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                              NĂM HỌC:2015-2016

                                                                                                                                         MÔN TOÁN

                                                                                                      Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)

                                                                                                                         (Đề thi gồm 06 câu,01 trang)

 

Câu 6(2 điểm)

Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1.Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.

 

Lấy 2 điểm A và B (AB>1) sao cho đường tròn (A) và (B) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Khi đó tất cả 99 điểm sẽ nằm ở miền trong của 2 đường tròn này.

Thật vậy, nếu tồn tại 1 điểm C nằm ngoài đường tròn thì AB>1, BC>1 và CA>1(không thỏa yêu cầu đề bài). Như vậy, ta sẽ có được 99 điểm đều thuộc miền trong của 2 đường tròn nên theo nguyên lí dirichlet, tồn tại một đường tròn bán kính chứa không ít hơn 50 điểm

[Namthemaster1234]

Đặt $x=\frac{a}{b},a\in Z,b\in N^{*},(a,b)=1$,nếu $b\neq 1$ do $n^2+n+1$ là số chính phương và $n$ là số hữu tỉ nên $n^2+n$ là số tự nhiên nên $n(n+1)=\frac{a}{b}(\frac{a+b}{b})$,vì $(a+b,b)=(a,b)$ nên nó không thể là số tự nhiên suy ra $b=1$,vậy $n$ là số tự nhiên. Hiển nhiên $n=0$ không thỏa mãn,ta có $n^2<n^2+n+6<(n+2)^2$ nên $n^2+n+6=(n+1)^2$ tương đương $n=5$.

 

Ý tưởng rấy hay nhưng $x$ là số nguyên nên vẫn thiếu nghiệm $x=-6$

[Namthemaster1234]

 

 Câu 2(4 điểm) Giải các phương trình sau:

b)$x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}=3$

ĐKXĐ: $x,y,z$ khác 0

 

Dễ dàng từ đẳng thức suy ra $x=y=z$ hoặc $(xyz)^2=1$

 

Nếu $x=y=z$ thì $x+\frac{1}{x}=3$ từ đó tìm ra nghiệm

 

Nếu $x^2y^2z^2=1$ thì xét 2TH:

 

 

TH1

$xyz=1$

 

Ta có $x+\frac{xyz}{y}=y+\frac{xyz}{z}=z+\frac{xyz}{x}=3$

 

$\Rightarrow x+xz=y+xy=z+yz=3 \Rightarrow (xy+yz+xz)+(x+y+z)=9$

 

Mặt khác $x+\frac{1}{y}=3 \Rightarrow xy+1=3y$. Tương tự: $yz+1=3z$ và $zx+1=3x$

 

$\Rightarrow xy+yz+xz+3=3(x+y+z) \Rightarrow 12=4(x+y+z) \Rightarrow x+y+z=3 $  và  $xy+yz+xz=6$

 

Vô lý vì $9=(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+xz)=18$.

 

 

TH2: $xyz=-1$ tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 20-11-2015 - 10:08

[hoctrocuaHolmes]

Đặt $x=\frac{a}{b},a\in Z,b\in N^{*},(a,b)=1$,nếu $b\neq 1$ do $n^2+n+1$ là số chính phương và $n$ là số hữu tỉ nên $n^2+n$ là số tự nhiên nên $n(n+1)=\frac{a}{b}(\frac{a+b}{b})$,vì $(a+b,b)=(a,b)$ nên nó không thể là số tự nhiên suy ra $b=1$,vậy $n$ là số tự nhiên. Hiển nhiên $n=0$ không thỏa mãn,ta có $n^2<n^2+n+6<(n+2)^2$ nên $n^2+n+6=(n+1)^2$ tương đương $n=5$.

Mình thấy lời giải không ổn,thứ nhất đề bài cho $x^2+x+6$ là số chính phương chứ không phải là $x^2+x+1$,thứ hai vì $x$ là số hữu tỉ nên chưa biết là hữu tỉ dương hay âm nên chưa thể suy ra được $x^2+x$ là số tự nhiên (hơi ngộ nhận ?!)Cuối cùng và cũng không quan trọng lắm là bài này có liên quan đến biến $n$ nào đâu nhỉ 

[thanhtuoanh]

Câu 4:

Giả sử x không phải là sô nguyên. Đặt x=$\frac{a}{b}$ (a,b $\in$ Z , a$\neq$ 0, b $\neq$ 0,$\pm$ 1) và (a,b)=1

Ta có: ($\frac{a}{b}$ )²+ $\frac{a}{b}$  + 6 = y² (y $\in$  N)

<=>  a² + ab + 6 b² =y² b²

<=> a² = y² b² - ab - 6 b²

=> a²$\vdots$ b , trái với giả thiết (a,b)=1

Suy ra x phải là số nguyên.

Do đó: x² + x + 6 = y²

<=> 4x² +4 x +24 = 4y²

<=>(2x+1)² - 4y² =-23

<=>(2x+1-2y)(2x+1+2y)=-23

Do x,y nguyên nên xét từng trường hợp là ra

------

Đáp số: 5,-6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuoanh: 22-11-2015 - 10:08