Chủ đề này có 4 trả lời

[vda2000]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ thì:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq 5$

[vta00]

Gỉa sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$,bất đẳng thức tương đương $(a-b)^2\left ( \frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab} \right )+(a-c)(b-c)(\frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ac})\geq 0$,dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ thì:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq 5$

 Ta có :

$$\text{BĐT}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-3\geq 2-\dfrac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}\geq \dfrac{2(a-b)^2+2(a-c)(b-c)}{a^2+b^2+c^2}$$

$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left (\dfrac{1}{ab}-\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\right )+(a-c)(b-c)\left (\dfrac{1}{ac}-\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\right )$$

 Lại có : $\dfrac{1}{ab}-\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{c^2+(a-b)^2}{ab(a^2+b^2+c^2)}>0$

             $\dfrac{1}{ac}-\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{b^2+(a-c)^2}{ac(a^2+b^2+c^2)}>0$

 Đến đây giả sử $c=\min \{a,b,c\}$ ta có ngay điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-11-2015 - 23:27

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$ thì:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq 5$

 Ta cũng có thể sử dụng một bổ đề sau đây với $a,b,c>0$ :

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}$$

 

Chứng minh

Áp dụng BĐT phụ $(x+y+z)^3\geq \dfrac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$ ta được : $$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^3\geq \dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}+1\right )\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \sqrt[3]{\dfrac{27}{4}\left (\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\right )}$$ Nên ta chỉ cần chứng minh : $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\geq \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$$ Chú ý rằng : $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\geq \dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(ab+bc+ca)^2}$$ Nên ta chỉ cần chứng minh : $$\dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(ab+bc+ca)^2}+4\geq \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$$ Đặt $x=a^2+b^2+c^2;y=ab+bc+ca$ với $x\geq y$ và ta cần chứng minh : $$\dfrac{3(x+2y)(x-y)}{y^2}+4\geq \dfrac{108x^3}{(x+2y)^3}\Leftrightarrow (x-y)(3x^4+24x^3y-32x^2y^2+16xy^3+16y^4)\geq 0$$ Luôn đúng vì $3x^4+24x^3y-32x^2y^2+16xy^3+16y^4=3x^4+8x^3y+16y^4+16xy(x-y)^2>0$

 Áp dụng vào bài toán thì ta cần chứng minh :

$$\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}+\dfrac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq 5\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2\geq 0$$

 

Spoiler

Cứ xài phân tích Schur-SOS cho lẹ, đừng sài cách này =))

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-11-2015 - 23:52

[hoctrocuaZel]

Tớ có cách này :v

$\frac{a}{b}+b/c+c/a-3=\frac{-(a^3+b^3+c^3-a^2c-b^2a-c^2b)+(a^3+b^3+c^3-3abc)}{abc}$

Biến đổi mấy cái ra là đc.