Chủ đề này có 5 trả lời

[davidsilva98]

Buổi thi thứ nhất.

 

Bài 1. (5 điểm)

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_{1}\in \left ( 0;1 \right )\\ x_{n+1}=x_{n}+\left ( \frac{x_{n}}{n} \right )^{2}, \forall n\geq 1\end{matrix}\right.$$ Dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có hội tụ không? Tại sao?

 

Bài 2. (5 điểm)

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R\rightarrow R$ thỏa: $$f\left ( 2x-y \right )-6\left ( x+1 \right )\left ( x-y \right )^{2}=2f\left ( x \right )-f\left ( y \right ),\: \forall x,y\in R$$

 

Bài 3. (5 điểm)

Cho bảng $3\times 3$ (gồm 3 hàng ngang và 3 cột dọc). Kí hiệu ô vuông $\left ( i;j \right )$ là ô vuông giao của hàng thứ $i$ (tính từ trên xuống) và cột thứ $j$ (tính từ trái sang phải). Có bao nhiêu cách điền vào các ô vuông, mỗi ô một số tự nhiên (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng $2015$, đồng thời trong các ô $\left ( i;i \right ),\:  i=\overline{1,3}$ thì ô $\left ( 2;2 \right )$ ghi số nhỏ nhất.

 

Bài 4. (5 điểm)

Cho tam giác $ABC$. đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Lấy điểm $J$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BJ$ song song $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AB$. Chứng minh rằng $IK$ song song $EF$.

 

 

Buổi thi thứ hai.

 

Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)

 

       a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$

     

       b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

Bài 6. (7 điểm)

Cho hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{2}+2b$ là số chính phương. Chứng minh rằng $a^{2}+b$ có thể phân tích thành tổng của hai số chính phương.

 

Bài 7. (6 điểm)

Trong dịp chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam $20-11$ và khánh thành trường mới, Đoàn trường THPT Chuyên Lương Thế VInh tổ chức thi văn nghệ. Để chọn ra các tiết mục xuất sắc biểu diễn trong ngày lễ, Ban chấp hành Đoàn trường đã tổ chức duyệt văn nghệ trong $6$ buổi. Biết rằng trong mỗi buổi có đúng $100$ học sinh tham gia để cổ vũ cho các tiết mục và không có hai học sinh nào mà hợp lại tham gia đủ cả $6$ buổi. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh đã tham gia cổ vũ cho các tiết mục văn nghệ trong $6$ buổi trên.

[hoanglong2k]

 Bài 6 : Đặt $a^2+2b=k^2\Rightarrow 2b=(k-a)(k+a)\Rightarrow 2|(k-a)(k+a)$

 Vì $k-a,k+a$ cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow 2|k-a$ và $2|k+a$

 Lại có : $a^2+b=k^2-b=k^2-\dfrac{k^2-a^2}{2}=\dfrac{k^2+a^2}{2}=\dfrac{2(k^2+a^2)}{4}=\left (\dfrac{k+a}{2}\right )^2+\left (\dfrac{k-a}{2}\right )^2$

 Do đó ta có điều cần chứng minh

[viet nam in my heart]

Buổi thi thứ hai.

Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)

 

       a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$

     

       b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.

a)Ta chứng minh $AF$ là đường đối trung kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

Gọi $I,J$ lần lượt là hình chiếu của $F$ trên $AB,AC$. $G,H$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$

 Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{FI}{FJ}=\dfrac{AB}{AC}$

Thật vậy theo định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{FI}{PD}=\dfrac{BF}{BD}, \dfrac{EN}{FJ}=\dfrac{CE}{CF}$

Do đó chỉ cần chứng minh: $\dfrac{CE}{CF}.\dfrac{BF}{BD}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$

Theo định lý $Menelaus$ cho tam giác $EDF$ với $B,M,C$ thẳng hàng ta được: $\dfrac{CE}{CF}.\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{ME}{MD}$. Suy ra cần chứng minh $\dfrac{ME}{MD}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$

Theo định lý $Thales$ ta lại có:$\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{ME}{AM}.\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{NH}{AH}.\dfrac{AG}{GP}$

Do đó chỉ cần chứng minh: $\dfrac{NH}{GP}.\dfrac{AG}{AH}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$

Gọi $X$ là trung điểm $AM$ thì $X$ là trung điểm $PN$. Ta có: Tứ giác $AGMH$ nội tiếp $(X)$

Ta có: $\mathcal{P}_{P/(X)}=PX^2-\dfrac{AM^2}{4}=NX^2-\dfrac{AM^2}{4}=\mathcal{P}_{P/(X)}$

Suy ra $PG.PA=NA.NH \Leftrightarrow \dfrac{PG}{NH}=\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{AC}{AB}$

Do đó cần chứng minh: $\dfrac{AG}{AH}=\dfrac{EN}{PD}$

Ta có: $\dfrac{EN}{PD}=\dfrac{EN.AN}{PD.AP}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{APD}}.\dfrac{AB}{AC}$

Ta có: $S_{AMN}=S_{AMP}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}$

Do đó ta có: $\dfrac{S_{AEN}}{S_{APD}}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{AMN}}.\dfrac{S_{AMP}}{S_{APD}}=\dfrac{AE}{AM}.\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AE}{AD} \Rightarrow \dfrac{EN}{PD}=\dfrac{AE}{AD}.\dfrac{AB}{AC}$

Áp dụng định lý $Thales$ ta có:$\dfrac{AE}{AD}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AM}.\dfrac{AM}{AD}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AH}.\dfrac{AG}{AP}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AG}{AH}$

Suy ra $AF$ là đường đối trung kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$

Ta có: $\widehat{EDF}+\widehat{DEF}=2\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAE}\right)=2\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{EFD}=180^o-2\widehat{BAC}$

Lại có: $\widehat{AFE}=\widehat{FAC}+\widehat{FCA}=\widehat{MAB}+\widehat{EAC}=\widehat{BAC}$ (vì $AF$ là đường đối trung kẻ từ $A$ nên $\widehat{FAC}=\widehat{MAB})$

Do đó $AF$ là phân giác ngoài góc $\widehat{EFD}$

b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Suy ra $A,P,O,N$ cùng nằm trên $1$ đường tròn

Ta có: $\widehat{BFC}=180^o-\widehat{EFD}=2\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$

Suy ra 4 điểm $B,C,O,F$ cùng nằm trên 1 đường tròn

Do đó: $\widehat{EFO}=\widehat{OBC}=90^o-\widehat{BOM}=90^o-\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{EFD}$

Do đó $OF$ là phân giác trong góc $\widehat{EFD}$

Suy ra $AF$ là phân giác ngoài góc $\widehat{AFO}=90^o$

Do đó 5 điểm $A,P,O,F,N$ cùng thuộc một đường tròn

Vậy $A,N,F,P$ cùng nằm trên 1 đường tròn

Lâu lâu mới quay lại diễn đàn. Bài này phần b gần như suy ra trực tiếp từ phần a. Phần a mình biến đổi loằng ngoằng quá  

[davidsilva98]

Buổi thi thứ hai.

 

Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)

 

       a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$

     

       b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

Duới đây mình xin trình bày một cách giải ảo diệu câu a 

Ta có: $$\frac{FE}{FD}=\frac{sin\widehat{EDF}}{sin\widehat{DEF}}=\frac{sin2\widehat{BAM}}{sin2\widehat{CAM}}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sin\widehat{CAM}}.\frac{cos\widehat{BAM}}{cos\widehat{CAM}}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sin\widehat{CAM}}.\frac{AP/AD}{AN/AE}$$ 

$$\Rightarrow \frac{FE}{FD}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sin\widehat{CAM}}.\frac{AB}{AC}.\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AD}.\frac{\frac{1}{2}.AB.AM.sin\widehat{BAM}}{\frac{1}{2}.AC.AM.sin\widehat{CAM}}=\frac{AE}{AD}.\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=\frac{AE}{AD}$$ 

Suy ra $AF$ là phân giác ngoài góc $DFE$

[meoconhocxuong]

 

Buổi thi thứ nhất.

 

Bài 3. (5 điểm)

Cho bảng $3\times 3$ (gồm 3 hàng ngang và 3 cột dọc). Kí hiệu ô vuông $\left ( i;j \right )$ là ô vuông giao của hàng thứ $i$ (tính từ trên xuống) và cột thứ $j$ (tính từ trái sang phải). Có bao nhiêu cách điền vào các ô vuông, mỗi ô một số tự nhiên (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng $2015$, đồng thời trong các ô $\left ( i;i \right ),\:  i=\overline{1,3}$ thì ô $\left ( 2;2 \right )$ ghi số nhỏ nhất.

Bài 3

 

Kí hiệu số được điền ở ô ($i$, $j$) là $x_{ij}$.

 

| $x_{11}$ | $x_{12}$ | $x_{13}$ |

| $x_{21}$ | $x_{22}$ | $x_{23}$ |

| $x_{31}$ | $x_{32}$ | $x_{33}$ |

 

Đặt $x_{22}=n$ ($n\in N$). thế thì $x_{11}=n+a$ và $x_{33}=n+b$ với $a,b\in N$

Đặt tiếp $x_{13}=k$ ($k\in N$)

Do $x_{11}+x_{12}+x_{13}=2015$

suy ra $x_{12}=2015-n-k-a$

tương tự ta cũng suy ra được $x_{23}=2015-n-k-b$

Từ đây ta suy ra được hết các số còn lại

$x_{21}=k+b$

$x_{32}=k+a$

$x_{31}=2015-n-k-a-b$

Do các ô được đánh số nên với mỗi bộ các số tự nhiên ($n$, $k$, $a$, $b$) ta có duy nhất 1 cách điền số vào bảng

Dễ thấy các số được điền là các số tự nhiên nếu và chỉ nếu $n$, $k$, $a$, $b$ thỏa mãn

$n+k+a+b\le 2015$,

hay tương đương với

$n+k+a+b+x=2015$ (với $x$ là 1 số tự nhiên không lớn hơn 2015)

Vậy số bộ ($n$, $k$, $a$, $b$) chính là $C_{2019}^4$ (bài toán chia kẹo Euler)

Suy ra số cách điền cũng là $C_{2019}^4$

[meoconhocxuong]

 

Buổi thi thứ nhất.

 

Bài 4. (5 điểm)

Cho tam giác $ABC$. đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$. Lấy điểm $J$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BJ$ song song $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AB$. Chứng minh rằng $IK$ song song $EF$.

Bài 4

 

Ta sẽ cmr $IK$ vuông góc với $IA$.

Dễ thấy tam giác $BJE$ cân tại B, suy ra $BJ=BE=p-b$ (với $a,b,c$ là các cạnh $BC,CA,AB$ và $p=\frac {a+b+c} {2}$)

Theo định lí Thales

$\frac {AK} {KB}=\frac {AC}{BJ}=\frac {b}{p-b}$

suy ra

$\frac {AK}{AB}=\frac{b}{p}$

mà $\frac{AE}{AB}=\frac{p-a}{c}$

suy ra $\frac{AK}{AE}=\frac{bc}{p(p-a)}$

mà $AE=p-a$ suy ra $AK=\frac{bc}{p}$

Ta sẽ cmr $AE.AK=IA^2$ hay l̀à $\frac {bc(p-a)}{p}=\frac{(p-a)^2}{(cosA/2)^2}$ hay là $p(p-a)=bc(cosA/2)^2$

Thật vậy theo định lí Cosin

$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

mà $(cosA/2)^2=\frac{cosA+1}{2}$

suy ra $(cosA/2)^2=\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}$

Từ đó, $4bc(cosA/2)^2=(b+c)^2-a^2=(b+c-a)(b+c+a)=2(p-a).2p$

suy ra đẳng thức cần cm

Từ đó dễ dàng suy ra được 2 tam giác $AEI$ và $AIK$ đồng dạng, suy ra $\angle AIK=\angle AEI=90$ suy ra $IK$ vuông góc với $IA$

Từ đó ta có đpcm.

Hình gửi kèm

•