Chủ đề này có 1 trả lời

[Hieutran2000]

Cho số nguyên dương n và x. Chứng minh rằng:

    \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^n} \ge {\left( {2x} \right)^n} + {\left( {{x^n} - 1} \right)^2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 14-11-2015 - 22:33

[vta00]

Ta sẽ đi chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì bất đẳng thức luôn đúng,trước hết với $n=1$ thì $x^2+1>=2x+(x-1)^2=x^2+1$ luôn đúng,với $n=2$ thì $(x^2+1)^2\geq (2x)^2+(x^2-1)^2=(x^2+1)^2$ luôn đúng,giả sử đúng tới $n$ ta cần chứng minh đúng với $n+1$,$n\geq 3$.Theo giả thiết quy nạp: $(x^2+1)^n\geq (2x)^n+(x^n-1)^2$ suy ra $(x^2+1)^{n+1}\geq(x^2+1)((2x)^n+(x^n-1)^2)=(x^2+1)(2x)^n+(x^n-1)^2(x^2+1)\geq(2x)^{n+1}+(x^n-1)^2(x^2+1)$ nên ta cần chứng minh$(x^{n}-1)^2(x^2+1)\geq(x^{n+1}-1)^2 \Leftrightarrow x^{2n+2}-2x^{n+2}+x^2+x^{2n}-2x^{n}+1\geq x^{2n+2}-2x^{n+1}+1\Leftrightarrow x^2+x^{2n}+2x^{n+1}\geq 2x^{n+2}+2x^{n+1}\Leftrightarrow x^2(x^{n-1}-1)^2\geq2x^n(x-1)^2\Leftrightarrow (x-1)^2(x^2(x^{n-2}+x^{n-3}+..+1)^2-2x^n)\geq0$ luôn đúng vì cái trong ngoặc thứ hai luôn không âm