Chủ đề này có 6 trả lời

[tranwhy]

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. chứng minh: 

$\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}\geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

***Yêu cầu chứng mình bằng phương pháp cosi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranwhy: 15-11-2015 - 13:27

[520]

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. chứng minh: 

$\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}\geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

***Yêu cầu chứng mình bằng phương pháp cosi

Ta có $\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{(\frac{1}{16})^{3}\frac{a^{4}}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

Cộng theo vế ta có $4\geq 4(\frac{1+\frac{a}{8}}{\sqrt[4]{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}})$

$\Rightarrow (1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})\geq (1+\frac{a}{8})^{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$

Thực hiện tương tự, bài toán trở thành tìm min của $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}$

Mà ta lại có $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}\geq 2(1+a)(1+b)$

Bài toán kết thúc

Do dự đoán trước dấu bằng xảy ra khi$a=b=\frac{1}{2}$ nên mình mới có đánh giá như trên

[tranwhy]

Ta có $\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+\frac{1}{16}}+\frac{1}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}+\frac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq 4\sqrt[4]{(\frac{1}{16})^{3}\frac{a^{4}}{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}}$

Cộng theo vế ta có $4\geq 4(\frac{1+\frac{a}{8}}{\sqrt[4]{(1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})}})$

$\Rightarrow (1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})\geq (1+\frac{a}{8})^{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$

Thực hiện tương tự, bài toán trở thành tìm min của $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}$

Mà ta lại có $(1+a)^{2}+(1+b)^{2}\geq 2(1+a)(1+b)$

Bài toán kết thúc

Do dự đoán trước dấu bằng xảy ra khi$a=b=\frac{1}{2}$ nên mình mới có đánh giá như trên

pp của bạn rất hay, nhưng hơi phức tạp, mình muốn biết tại sao b có thể nghĩ ra đc pp này thank!

vì  sao suy ra được :

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$   từ: 

$\Rightarrow (1+\frac{1}{16})^{3}(1+a^{4})\geq (1+\frac{a}{8})^{4}$   vậy ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranwhy: 15-11-2015 - 23:45

[520]

pp của bạn rất hay, nhưng hơi phức tạp, mình muốn biết tại sao b có thể nghĩ ra đc pp này thank!

vì  sao suy ra được :

$\Rightarrow \sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{(\frac{16}{17})^{3}}(1+a)^{2}$   vậy bạn??

ban đầu mình ép đánh giá: $1+a^{4}\geq x(1+a)^{4}$ đến đây chọn x sao cho dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$. Từ đây mình lập đánh giá ép dấu bằng

[tranwhy]

ban đầu mình ép đánh giá: $1+a^{4}\geq x(1+a)^{4}$ đến đây chọn x sao cho dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$. Từ đây mình lập đánh giá ép dấu bằng

bạn xem giúp cách chứng minh này sai ở chỗ nào nhé: 

$\sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{2}\left | a \right |$

$\sqrt{1+b^{4}}\geq \sqrt{2}\left | b \right |$

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}(\left | a \right |+\left |b \right |)$

Xét 1+a,1+b >0 (trường hợp còn lại tương tự) :

$(1+a)(1+b)\geq \frac{(1+a+1+b)^{2}}{4}$

$\rightarrow \left | 1+a+1+b \right |\geq 3$

Mặc khác: 

$\left | a \right |= \left | 1+a-1 \right |\geq \left | 1+a \right |-\left | 1 \right |$

$\rightarrow \left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | 1+a \right |+\left | 1+b \right |-2\geq \left | 1+a+1+b \right |-2\geq 3-2=1$

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranwhy: 15-11-2015 - 23:34

[520]

bạn xem cách chứng minh này sai ở chỗ nào nhé: 

$\sqrt{1+a^{4}}\geq \sqrt{2}\left | a \right |$

\sqrt{1+b^{4}}\geq \sqrt{2}\left | b \right |

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}(\left | a \right |+\left |b \right |)$

Xét 1+a,1+b >0 (trường hợp còn lại tương tự) :

$(1+a)(1+b)\geq \frac{(1+a+1+b)^{2}}{4}$

$\rightarrow \left | 1+a+1+b \right |\geq 3$

Mặc khác: 

$\left | a \right |= \left | 1+a-1 \right |\geq \left | 1+a \right |-\left | 1 \right |$

$\rightarrow \left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | 1+a \right |+\left | 1+b \right |-2\geq \left | 1+a+1+b \right |-2\geq 3-2=1$

$\rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Bạn không thể nào dùng bản đồ tp hồ chí minh mà lại tìm thủ đô Lào. Đồng ý là $1+a^{4}\geq 2a^{2}$ Dấu bằng xảy ra khi a=1 nhưng trong bài này dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{1}{2}$ nên đánh giá  $1+a^{4}\geq 2a^{2}$ là sai. Giống như $1+2\geq 2\sqrt{2}$ thì về lý thuyết nó đúng nhưng dấu "="" không xảy ra. nên khi đánh giá cần đảm bảo dấu bằng

[KietLW9]

Với a,b là các số thực thỏa mãn: (1+a)(1+b)=9/4. chứng minh: 

$\sqrt{1+a^{4}}+\sqrt{1+b^{4}}\geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

***Yêu cầu chứng mình bằng phương pháp cosi

Ứng dụng của bài toán này:

 

Đề thi chuyên Toán Hưng Yên