Chủ đề này có 6 trả lời

[bui hong diep]

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

2) Tìm GTNN của:A = $\frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

                             B = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }+\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

                             C = $\frac{2}{cos^{2}\alpha }+3cot^{2}\alpha$

[Minhnguyenthe333]

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

2) Tìm GTNN của:A = $\frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

                             B = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }+\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

                             C = $\frac{2}{cos^{2}\alpha }+3cot^{2}\alpha$

2)

$A=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha.cos\alpha}=tan\alpha+\frac{1}{tan\alpha}\geq 2$ (theo Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi $\alpha=45^0$

$B\geq \frac{4}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=4$ (theo C-S).Dấu "=" xảy ra khi $\alpha=45^0$

[520]

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

$A=sin^{2}\alpha.cos^{4}\alpha=(1-cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)=\frac{1}{2}(2-2cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)(cos^{2}\alpha)\leq \frac{1}{2}(\frac{2-2cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha}{3})^{3}\leq \frac{4}{27}$

[520]

cho $0^{\circ}< \alpha < 90^{\circ}$

1) Tìm GTLN của: A = $sin^{2}\alpha .cos\alpha ^{4}$

2) Tìm GTNN của:A = $\frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

                             B = $\frac{1}{cos^{2}\alpha }+\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

                             C = $\frac{2}{cos^{2}\alpha }+3cot^{2}\alpha$

$C=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+3(\frac{1}{sin^{2}\alpha}-1)=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha}-3$

Ta có $(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha)(\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha})\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$

Từ đây ta suy ra min C

Ở câu này mình có dùng 1 bổ đề: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$ ( bổ đề chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)

[bui hong diep]

thank you hjhj ​ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bui hong diep: 15-11-2015 - 17:03

[tcqang]

2)

$A=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha.cos\alpha}=tan\alpha+\frac{1}{tan\alpha}\geq 2$ (theo Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi $\alpha=45^0$

$B\geq \frac{4}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=4$ (theo C-S).Dấu "=" xảy ra khi $\alpha=45^0$

A và B cũng có thể đánh giá thẳng bằng cách thu gọn sau:

$A = \frac{2}{sin2\alpha} \ge 2$

$B = \frac{4}{sin^2 2x} \ge 4$.

[tcqang]

$C=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+3(\frac{1}{sin^{2}\alpha}-1)=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha}-3$

Ta có $(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha)(\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha})\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$

Từ đây ta suy ra min C

Ở câu này mình có dùng 1 bổ đề: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$ ( bổ đề chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)

CÓ thể né bổ đề bằng cách:

$C=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+3(\frac{1}{sin^{2}\alpha}-1)=\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha}-3$

$=(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha)(\frac{2}{cos^{2}\alpha}+\frac{3}{sin^{2}\alpha}) -3 = 2 + 3 + 2 tan^2 \alpha + 3cot^2 \alpha -3 $

$= 2 + 2 tan^2 \alpha + 3cot^2 \alpha \ge 2 + 2\sqrt{2 tan^2 \alpha . 3cot^2 \alpha} = 2 + 2\sqrt{6}$