Chủ đề này có 4 trả lời

[tpdtthltvp]

Tìm a thuộc Z để đa thức (x-a)(x-10)+1 phân tích thành tích của 2 đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên

[phamngochung9a]

Tìm a thuộc Z để đa thức (x-a)(x-10)+1 phân tích thành tích của 2 đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên

Vì đa thức $(x-a)(x-10)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có hệ số nguyên nên ta chỉ có hai cách phân tích duy nhất là: 

$1)\left ( x-a \right )(x-10)=(x+b)(x+c)\\2)(x-a)(x-10)=(-x+b)(-x+c)$ với $b,c\in \mathbb{Z}$

Ta sẽ tìm $a$ trong trường hợp $1)$, trường hợp còn lại làm tương tự

$(x-a)(x-10)+1=(x-b)(x-c)\Leftrightarrow x^{2}-(a+10)x+10a+1=x^{2}+(b+c)x+bc$

Đồng nhất, ta được $\left\{\begin{matrix} b+c=-(a+10) & \\ bc=10a+1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b,c$ là hai nghiệm nguyên của PT $X^{2}+(a+10)X+10a+1= 0$ với $a$ nguyên

$\Rightarrow \Delta = (a+10)^{2}-40a-4=m^{2}\left ( m\in \mathbb{N} \right )\\\Leftrightarrow (a-10)^{2}-4=m^{2}\\\Leftrightarrow (a-m-10)(a+m-10)=4$

Vì $a-m-10$ và $a+m-10$ cùng tính chẵn lẻ và $a+m-10\geq a-m-10$ nên:

$\left\{\begin{matrix} a+m-10=2 & \\ a-m-10=2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=12$

Hoặc : 

$\left\{\begin{matrix} a+m-10=-2 & \\ a-m-10=-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 17-11-2015 - 20:22

[bovuotdaiduong]

Vì đa thức $(x-a)(x-10)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có hệ số nguyên nên ta chỉ có hai cách phân tích duy nhất là: 

$1)\left ( x-a \right )(x-10)=(x+b)(x+c)\\2)(x-a)(x-10)=(-x+b)(-x+c)$ với $b,c\in \mathbb{Z}$

Ta sẽ tìm $a$ trong trường hợp $1)$, trường hợp còn lại làm tương tự

$(x-a)(x-10)+1=(x-b)(x-c)\Leftrightarrow x^{2}-(a+10)x+10a+1=x^{2}+(b+c)x+bc$

Đồng nhất, ta được $\left\{\begin{matrix} b+c=-(a+10) & \\ bc=10a+1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b,c$ là hai nghiệm nguyên của PT $X^{2}+(a+10)X+10a+1= 0$ với $a$ nguyên

$\Rightarrow \Delta = (a+10)^{2}-40a-4=m^{2}\left ( m\in \mathbb{N} \right )\\\Leftrightarrow (a-10)^{2}-4=m^{2}\\\Leftrightarrow (a-m-10)(a+m-10)=4$

Vì $a-m-10$ và $a+m-10$ cùng tính chẵn lẻ và $a+m-10\geq a-m-10$ nên:

$\left\{\begin{matrix} a+m-10=2 & \\ a-m-10=2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=12$

Hoặc : 

$\left\{\begin{matrix} a+m-10=-2 & \\ a-m-10=-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=8$

Còn thêm trường hợp $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(-x+c)$ thì làm như thế nào vậy bạn?

[vta00]

Mình nghĩ bài này chỉ cần xét với trường hợp $(x+b)(x+c)$ vì $b,c$ nguyên nên $b,c$ có thể âm hoặc dương do vậy nếu bạn định xét thêm cả $(-x+b)(-x+c)$ thì chỉ cần đổi dấu 2 lần là thu được $(x-b)(x-c)$ hai trường hợp này hoàn toàn giống nhau vì $b,c$ nguyên;không kể đến nữa là delta không đổi.Còn câu hỏi của bạn bovuotdaiduong thì mình nghĩ là không xét trường hợp này vì hệ số $x^2$ là 1 mà hệ số của $x^2$ trong trường hợp của bạn là -1 nên không được.Tuy nhiên tại sao lại không được? Vì với $a=const$ thì đa thức luôn được phân tích thành nhân tử với mọi $x$,nếu như $(x-a)(x-10)+1=(kx+m)(qx+n)$ với $k,q,m,n$ là các số nguyên và hiển nhiên $k,q$ khác $0$ ,nếu $kq=1$ thì hiển nhiên là 2 trường hợp mình nói lúc đầu,xét $kq\neq 1$,ta có $(kq-1)x^2+(kn+qm+a+10)x+mn-10a-1=0$,phương trình có nghiệm với mọi $x$ nên với $x=0$ suy ra $mn=10a+1$ do đó $(kq-1)x^2+(kn+qm+a+10)x=0$ có nghiệm với mọi $x$ tức với $x\neq 0$ là phải thỏa mãn $(kq-1)x+kn+qm+a+10=0$ với mọi $x$,do $$kq-1\neq 0$ nên phương trình luôn có 1 nghiệm duy nhất vô lí.Vây $kq=1$ suy ra chỉ có phân tích thành nhân tử dạng $(x+b)(x+c)$

[phamngochung9a]

Còn thêm trường hợp $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(-x+c)$ thì làm như thế nào vậy bạn?

$(x-a)(-x+c)=-x^{2}+(a+c)x-ac$, hệ số của $x^2$ là $-1$, không bằng hệ số của $x^2$ là $1$ trong $(x-a)(x-1)+1$ đâu bạn à