Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
khanhlinh8b

khanhlinh8b

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cho a, b, c>0 và a+b+c=3. Chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$



#2
Kira Tatsuya

Kira Tatsuya

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

$Cauchy $  ngược dấu nhe bạn.Ta có :

$\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\geq a-\frac{2ab^3}{3b^2\sqrt[3]{a}}\geq a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2}.b$ 

Tương tự mấy cái còn lại,

$\Rightarrow$ Vế trái $\geq (a+b+c)-\frac{2}{3} (\sqrt[3]{a^2}b+\sqrt[3]{b^2}c+\sqrt[3]{c^2}a)\\\geq 3-\frac{2}{3}(\frac{a+a+1}{3}.b+\frac{b+b+1}{3}.c+\frac{c+c+1}{3}.a)\\\geq 3-\frac{2}{3}(\frac{2ab+2bc+2ca}{3}+\frac{a+b+c}{3})\\\geq 3-\frac{2}{3}[\frac{2}{3}\frac{(a+b+c)^2}{3}+1]\geq1$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$


----HIKKIGAYA HACHIMAN----

"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh