Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x\left( x+y+z \right)=3yz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 santo3vong

santo3vong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Thuận

Đã gửi 17-11-2015 - 15:32

Cho $x,y,z>0$ thoả: $x\left( x+y+z \right)=3yz$. Chứng minh:

${{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( z+x \right)\le 5{{\left( y+z \right)}^{3}}$ (1)

 

Và sau đây là bài giải còn dang dở của mình:

Từ điều kiện ta có:

$\begin{align}& x\left( x+y+z \right)=3yz \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+yz+zx=4yz \\ & \Leftrightarrow x\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)=4yz \\ & \Leftrightarrow \left( x+z \right)\left( x+y \right)=4yz \\ \end{align}$

Ta có:

 (1)$\begin{align}& \Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+12yz\left( y+z \right)\le5{{\left( y+z \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3xy\left( x+y \right)+3xz\left( x+z \right)+12yz\left( y+z \right)\le 5{{y}^{3}}+5{{z}^{3}}+12yz\left( y+z \right) \\ &\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}-{{\left( y+z \right)}^{3}}-4{{y}^{3}}-4{{z}^{3}}\le 0 \\ \end{align}$

Đến đây mình không tìm ra được hướng nữa, bạn nào trên nền tảng của bài mình giúp mình giải tiếp đi, cảm ơn nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi santo3vong: 17-11-2015 - 15:36


#2 QDV

QDV

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Đã gửi 17-11-2015 - 16:07

Cho $x,y,z>0$ thoả: $x\left( x+y+z \right)=3yz$. Chứng minh:

${{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( z+x \right)\le 5{{\left( y+z \right)}^{3}}$ (1)

 

Và sau đây là bài giải còn dang dở của mình:

Từ điều kiện ta có:

$\begin{align}& x\left( x+y+z \right)=3yz \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+yz+zx=4yz \\ & \Leftrightarrow x\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)=4yz \\ & \Leftrightarrow \left( x+z \right)\left( x+y \right)=4yz \\ \end{align}$

Ta có:

 (1)$\begin{align}& \Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+12yz\left( y+z \right)\le5{{\left( y+z \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3xy\left( x+y \right)+3xz\left( x+z \right)+12yz\left( y+z \right)\le 5{{y}^{3}}+5{{z}^{3}}+12yz\left( y+z \right) \\ &\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}-{{\left( y+z \right)}^{3}}-4{{y}^{3}}-4{{z}^{3}}\le 0 \\ \end{align}$

Đến đây mình không tìm ra được hướng nữa, bạn nào trên nền tảng của bài mình giúp mình giải tiếp đi, cảm ơn nhiều.

Từ ĐK dễ dàng CM $x\leq \frac{y+z}{2}$

Ta lại có

$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}=(2x+y+z)[(x+y)^{2}-(x+y)(x+z)+(x+z)^{2}])\leq 2(y+z)[2x(x+y+z)+y^{2}+z^{2}-x(x+y+z)-yz]\leq 2(y+z)(y+z)^{2}\leq 2(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow x=\frac{y+z}{2}$

Laị có

$12yz(y+z)\leq 3(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow y=z$

Vậy BĐT được CM . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh