Chủ đề này có 3 trả lời

[nthkhnimqt]

Cho $\left( {G, \cdot } \right)$ là một nhóm Abel và $H$ là một nhóm con của $G$. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$ ta đặt \[{H_n} = \left\{ {x \in G\mid {x^n} \in H} \right\}\]

Hãy tìm điều kiện để ${H_m} \cap {H_n} = H$.

[bangbang1412]

Cho $\left( {G, \cdot } \right)$ là một nhóm Abel và $H$ là một nhóm con của $G$. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$ ta đặt \[{H_n} = \left\{ {x \in G\mid {x^n} \in H} \right\}\]

Hãy tìm điều kiện để ${H_m} \cap {H_n} = H$.

Ta có $H_{m} \cap H_{n} = \left \{ x \in G | x^{m} , x^{n} \in H \right \}$ , đặt $\mathbb{gcd}(m,n) = d$ . Trước tiên ta thấy $H \subset H_{n}$ do $H$ cũng là một nhóm nên chỉ cần có $ H_{m} \cap H_{n} \subset H$ là được . 

Ta sẽ chứng minh $H_{m} \cap H_{n} = H_{d}$ 

$1)$ $H_{m} \cap H_{n} \subset H_{d}$ , ta giả sử $x \in G , x^{n},x^{m} \in H$ do đó tồn tại các số $u,v : mu + nv = d$ hay $x^{mu+nv} = x^{d} = (x^{m})^{u}.(x^{n})^{v} \in H$ do $H$ cũng có cấu trúc nhóm 

$2)$ $H_{d} \subset H_{m},H_{n}$ , hiển nhiên . 

Vậy điều kiện là $H_{d} = H$

[GSTHP]

Chứng minh rằng mọi nhóm cấp $p^2$ đều giao hoán, với $p$ là số nguyên tố.
Anh (chị) hướng dẫn em cách CM với ah.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSTHP: 05-07-2017 - 17:01

[vutuanhien]

Chứng minh rằng mọi nhóm cấp $p^2$ đều giao hoán, với $p$ là số nguyên tố.
Anh (chị) hướng dẫn em cách CM với ah.

Kí hiệu $Z(G)$ là nhóm tâm hóa của nhóm $G$. Vì $G$ có cấp là $p^2$ nên theo định lý Lagrange, $Z(G)$ chỉ có thể có cấp là một trong các số $1$, $p$ hoặc $p^2$. Mặt khác, từ chứng minh của định lý Sylow ta suy ra cấp của $Z(G)$ chia hết cho $p$, nên cấp của $Z(G)$ chỉ có thể là $p$ hoặc $p^2$. Nếu $|Z(G)|=p^2$ thì $Z(G)=G$ và do đó $G$ là nhóm abel. Nếu cấp của $Z(G)$ là $p$, thì nhóm thương $G/Z(G)$ có $p$ phần tử và do đó là nhóm cyclic. Gọi $xZ(G)$ là phần tử sinh của nhóm cyclic này, thì với mọi phần tử $yZ(G)$ của $G/Z(G)$, ta có $yZ(G)=(xZ(G))^k=x^{k}Z(G)$ và suy ra $y=x^{k}a$ với $a\in Z(G)$. Như vậy mọi phần tử của $G$ đều có dạng $x^{k}a$ với $k$ là một số nguyên và $a\in Z(G)$. Giờ xét $y, z\in G$ với $y=x^{k}a$, $z=x^{m}b$. Khi đó $yz=x^{k}ax^{m}b=x^{k}x^{m}ab$ (vì $a\in Z(G)$ nên $ax^{m}=x^{m}a$) $=x^{m}x^{k}ba=x^{m}bx^{k}a=zy$. Vậy $yz=zy$ với mọi $y, z\in G$ nên $G$ là nhóm abel (đpcm). 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 05-07-2017 - 17:28