Cho $\left( {G, \cdot } \right)$ là một nhóm Abel và $H$ là một nhóm con của $G$. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$ ta đặt \[{H_n} = \left\{ {x \in G\mid {x^n} \in H} \right\}\]
Hãy tìm điều kiện để ${H_m} \cap {H_n} = H$.
Cho $\left( {G, \cdot } \right)$ là một nhóm Abel và $H$ là một nhóm con của $G$. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$ ta đặt \[{H_n} = \left\{ {x \in G\mid {x^n} \in H} \right\}\]
Hãy tìm điều kiện để ${H_m} \cap {H_n} = H$.
Cần lắm một bờ vai nương tựa
Cho $\left( {G, \cdot } \right)$ là một nhóm Abel và $H$ là một nhóm con của $G$. Với mỗi $n \in \mathbb{N}$ ta đặt \[{H_n} = \left\{ {x \in G\mid {x^n} \in H} \right\}\]
Hãy tìm điều kiện để ${H_m} \cap {H_n} = H$.
Ta có $H_{m} \cap H_{n} = \left \{ x \in G | x^{m} , x^{n} \in H \right \}$ , đặt $\mathbb{gcd}(m,n) = d$ . Trước tiên ta thấy $H \subset H_{n}$ do $H$ cũng là một nhóm nên chỉ cần có $ H_{m} \cap H_{n} \subset H$ là được .
Ta sẽ chứng minh $H_{m} \cap H_{n} = H_{d}$
$1)$ $H_{m} \cap H_{n} \subset H_{d}$ , ta giả sử $x \in G , x^{n},x^{m} \in H$ do đó tồn tại các số $u,v : mu + nv = d$ hay $x^{mu+nv} = x^{d} = (x^{m})^{u}.(x^{n})^{v} \in H$ do $H$ cũng có cấu trúc nhóm
$2)$ $H_{d} \subset H_{m},H_{n}$ , hiển nhiên .
Vậy điều kiện là $H_{d} = H$
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Chứng minh rằng mọi nhóm cấp $p^2$ đều giao hoán, với $p$ là số nguyên tố.
Anh (chị) hướng dẫn em cách CM với ah.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSTHP: 05-07-2017 - 17:01
Trên đời này, chuyện quái gì cũng có thể xảy ra được
Chứng minh rằng mọi nhóm cấp $p^2$ đều giao hoán, với $p$ là số nguyên tố.
Anh (chị) hướng dẫn em cách CM với ah.
Kí hiệu $Z(G)$ là nhóm tâm hóa của nhóm $G$. Vì $G$ có cấp là $p^2$ nên theo định lý Lagrange, $Z(G)$ chỉ có thể có cấp là một trong các số $1$, $p$ hoặc $p^2$. Mặt khác, từ chứng minh của định lý Sylow ta suy ra cấp của $Z(G)$ chia hết cho $p$, nên cấp của $Z(G)$ chỉ có thể là $p$ hoặc $p^2$. Nếu $|Z(G)|=p^2$ thì $Z(G)=G$ và do đó $G$ là nhóm abel. Nếu cấp của $Z(G)$ là $p$, thì nhóm thương $G/Z(G)$ có $p$ phần tử và do đó là nhóm cyclic. Gọi $xZ(G)$ là phần tử sinh của nhóm cyclic này, thì với mọi phần tử $yZ(G)$ của $G/Z(G)$, ta có $yZ(G)=(xZ(G))^k=x^{k}Z(G)$ và suy ra $y=x^{k}a$ với $a\in Z(G)$. Như vậy mọi phần tử của $G$ đều có dạng $x^{k}a$ với $k$ là một số nguyên và $a\in Z(G)$. Giờ xét $y, z\in G$ với $y=x^{k}a$, $z=x^{m}b$. Khi đó $yz=x^{k}ax^{m}b=x^{k}x^{m}ab$ (vì $a\in Z(G)$ nên $ax^{m}=x^{m}a$) $=x^{m}x^{k}ba=x^{m}bx^{k}a=zy$. Vậy $yz=zy$ với mọi $y, z\in G$ nên $G$ là nhóm abel (đpcm).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 05-07-2017 - 17:28
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh