Chủ đề này có 3 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Cho a b c dương thõa $a+b+c=3$ CMR

$3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 13$

[Minhnguyenthe333]

Cho a b c dương thõa $a+b+c=3$ CMR

$3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 13$

BĐT$\Leftrightarrow 3(9-2ab-2bc-2ca)+12bc-4bc(b+c)\geq 13$

$\Leftrightarrow 27-6(3-b-c)(b+c)+6bc-4bc(b+c)\geq 13$

$\Leftrightarrow 14\geq 18(b+c)-6(b+c)^2+6bc(4b+4c-6)$

Ta có: $VP\leq f(t)=18t-6t^2+\frac{t^2(4t-6)}{4}$ (theo Cauchy) $(t=b+c>0)$

mà $f'(t)=3t^2-15t+18=0\Leftrightarrow t=3$ (vô lí) hoặc $t=2$ (nhận)

$\Rightarrow VP\leq 14$ (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-11-2015 - 18:19

[dogsteven]

Nếu $a\geqslant b+c$ thì $2a\geqslant a+b+c=3$ nên $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)+6bc=3a^2+3(b+c)^2\geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{2}>13$

Nếu $a,b,c$ có tính chất là tổng hai số không bé hơn hai số còn lại thì $2a,2b,2c\leqslant 3$ nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leqslant \dfrac{(3-2a+3-2b+3-2c)^2}{27}=1\Leftrightarrow 6(ab+bc+ca)-4abc\leqslant 77\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 13\]

[KietLW9]

Cho a b c dương thõa $a+b+c=3$ CMR

$3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 13$

Lời giải. Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ thì $p=3$ và ta cần chứng minh: $4r-6q+14\geqslant 0$

Thật vậy, theo Schur, ta có: $r\geqslant \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}$

$\Rightarrow 4r-6q+14\geqslant \frac{4(4q-9)}{3}-6q+14=\frac{2}{3}(3-q)\geqslant 0(\text{Q.E.D})$ (Đúng do $ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$