Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$
#1
Đã gửi 20-11-2015 - 16:54
#2
Đã gửi 20-11-2015 - 17:26
$$BĐT\Leftrightarrow 15(x^3+y^3+z^3)+9xyz\geq 9\sum xy(x+y)$$
Áp dụng BĐT Schur $x^3+y^3+z^3+3xyz \geq \sum xy(x+y)$ và BĐT AM-GM $x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$
#3
Đã gửi 20-11-2015 - 19:33
Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$
Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z=3 & & & \\ q=xy+yz+zx & & & \\ r=xyz \leqslant 1 & & & \end{matrix}\right.$
Ta cần chứng minh : $p^2-2q+r \geqslant 4$ $\Leftrightarrow 2q-r \leqslant 5$
Theo BĐT Schur ta có : $p^3-4pq+9r \geqslant 0$ $\Rightarrow q \leqslant \frac{27+9r}{12}$
Do đó: $2q-r \leqslant \frac{27+9r}{6}-r = \frac{27}{6}+\frac{r}{2} \leqslant \frac{27}{6}+\frac{1}{2}=5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 20-11-2015 - 19:34
- nghia_metal yêu thích
#4
Đã gửi 20-11-2015 - 20:14
Ok!Cách xử lí đẹp nhất cho bài này:
Ta có bổ đề quen thuộc: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$ (Cách chứng minh bạn xem trên mạng nhé :v)
Áp dụng ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz)+1 \geq (x+y+z)^{2}$
$\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz)+1 \geq 9$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz \geq 4 (Đpcm)$
Bằng bổ đề trên:Bạn hãy chứng minh bài toán đảo: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$.Chứng minh $x+y+z \leq 3$
#5
Đã gửi 07-07-2019 - 08:43
Hay là thử cách này của em xem sao? Mong mọi người xem giúp coi có đúng không ạ
Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại hai trong ba số $x-1;y-1;z-1$ mà tích chúng không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xyz\geq xz+yz-z$
Suy ra $VT\geq x^2 + y^2 +z(x+y+z)-z$
$=(x^2+1)+(y^2+1)+2z-2$. Áp dụng BĐT AM-GM suy ra:
$VT\geq 2(x+y+z)-2=4(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 07-07-2019 - 08:43
- DOTOANNANG và Gammaths11 thích
#6
Đã gửi 10-07-2019 - 20:16
$$BĐT\Leftrightarrow 15(x^3+y^3+z^3)+9xyz\geq 9\sum xy(x+y)$$
Áp dụng BĐT Schur $x^3+y^3+z^3+3xyz \geq \sum xy(x+y)$
Chỗ này anh đi hơi nhanh có thể nói rõ hơn một chút được không ạ
Đừng thở dài
Hãy vươn vai mà sống
Bùn dưới chân
Nhưng nắng ở trên đầu
Fact but real
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh