Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nghia_metal

nghia_metal

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$



#2
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

$$BĐT\Leftrightarrow 15(x^3+y^3+z^3)+9xyz\geq 9\sum xy(x+y)$$

 

Áp dụng BĐT Schur $x^3+y^3+z^3+3xyz \geq \sum xy(x+y)$ và BĐT AM-GM $x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$



#3
Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z=3 & & & \\ q=xy+yz+zx & & & \\ r=xyz \leqslant 1 & & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh :   $p^2-2q+r \geqslant 4$    $\Leftrightarrow 2q-r \leqslant 5$

Theo BĐT Schur ta có : $p^3-4pq+9r \geqslant 0$   $\Rightarrow q \leqslant \frac{27+9r}{12}$

Do đó:  $2q-r \leqslant \frac{27+9r}{6}-r = \frac{27}{6}+\frac{r}{2} \leqslant \frac{27}{6}+\frac{1}{2}=5$   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 20-11-2015 - 19:34


#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Ok!Cách xử lí đẹp nhất cho bài này:

Ta có bổ đề quen thuộc: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$ (Cách chứng minh bạn xem trên mạng nhé :v)

Áp dụng ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+xz)$

         $\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz)+1 \geq (x+y+z)^{2}$

         $\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz)+1 \geq 9$

         $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz \geq 4 (Đpcm)$ 

Bằng bổ đề trên:Bạn hãy chứng minh bài toán đảo: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz=4$.Chứng minh $x+y+z \leq 3$



#5
tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 67 Bài viết

Hay là thử cách này của em xem sao? Mong mọi người xem giúp coi có đúng không ạ:D

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại hai trong ba số $x-1;y-1;z-1$ mà tích chúng không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xyz\geq xz+yz-z$

Suy ra $VT\geq x^2 + y^2 +z(x+y+z)-z$

$=(x^2+1)+(y^2+1)+2z-2$. Áp dụng BĐT AM-GM suy ra:

$VT\geq 2(x+y+z)-2=4(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 07-07-2019 - 08:43


#6
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

$$BĐT\Leftrightarrow 15(x^3+y^3+z^3)+9xyz\geq 9\sum xy(x+y)$$

 

Áp dụng BĐT Schur $x^3+y^3+z^3+3xyz \geq \sum xy(x+y)$ 

Chỗ này anh đi hơi nhanh có thể nói rõ hơn một chút được không ạ


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh