1 reply to this topic

[roby10]

Cho a, b, c > 0, chứng minh:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{2}\ge a+b+c$

[royal1534]

Áp dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu ta có:

$\frac{a^{2}}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b} \geq a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}$

Tương tự $\frac{b^{2}}{b+c} \geq b-\frac{\sqrt{bc}}{2}$

               $\frac{c^{2}}{c+a} \geq c-\frac{\sqrt{ac}}{2}$

Cộng các bđt trên lại ta có:

$\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}+\frac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{2} \geq a+b+c-$ $\frac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{2}+\frac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{2}=a+b+c$

Edited by royal1534, 21-11-2015 - 06:11.