Bài 2:
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù và đường cao $AH$ với $H$ thuộc $BC$. Trên $CA, AB$ lấy các điểm $E,F$ sao cho $\angle BEH=\angle C$ và $\angle CFH=\angle B$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $D$. Chứng minh rằng $DE=DF$.
Bài 2:
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù và đường cao $AH$ với $H$ thuộc $BC$. Trên $CA, AB$ lấy các điểm $E,F$ sao cho $\angle BEH=\angle C$ và $\angle CFH=\angle B$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $D$. Chứng minh rằng $DE=DF$.
Bài 2:
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù và đường cao $AH$ với $H$ thuộc $BC$. Trên $CA, AB$ lấy các điểm $E,F$ sao cho $\angle BEH=\angle C$ và $\angle CFH=\angle B$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $D$. Chứng minh rằng $DE=DF$.
Lời giải:
vmeo 4.jpg 22.93K 1 Số lần tải
Vì giả thiết cho $\widehat{BEH}=\widehat{C};\widehat{CFH}=\widehat{B}$ nên ta cần tìm một mối liên hệ giữa $B$ và $C$,thật tự nhiên ta suy nghĩ đến việc chọn $K$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Kẻ đường cao $CM,BN$,gọi $K$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Ta có $\Delta BEH\sim \Delta BCE(g.g)\Rightarrow \frac{BE}{BC}=\frac{BH}{BE}\Rightarrow BE^2=BC.BH(1)$
$\Delta CMB\sim \Delta KHB(g.g)\Rightarrow \frac{BM}{HB}=\frac{BC}{BK}\Rightarrow BC.BH=BM.BK(2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra $BE^2=BM.BK\Rightarrow \Delta EBM\sim \Delta KBE(c.g.c)\Rightarrow \widehat{EMB}=\widehat{KEB}=90^{\circ}\Rightarrow BE$ vuông góc với $KE$
Chứng minh tương tự ta có $KF$ vuông góc với $CF$
Áp dụng hệ thức lượng lần lượt vào tam giác $KEB$ vuông tại $B$;tam giác $KFC$ vuông tại $F$ ta có
$\left\{\begin{matrix} KE^{2}=KM.KB(3) & \\ KF^2=KN.KC(4) & \end{matrix}\right.$
Lại có:$\Delta AKM\sim \Delta BKH(g.g)\Rightarrow \frac{KM}{KH}=\frac{AK}{BK}\Rightarrow KM.BK=AK.KH$
Chứng minh tương tự $KN.KC=AK.KH$ do đó $KM.KB=KN.KC (5)$
Từ $(3)(4)(5)$ ta suy ra $KE^2=KF^2$ hay $KE=KF$
Xét tam giác $KDF$ và $KEF$ ta có
$\left\{\begin{matrix} KE=KF(cmt) & & \\ \widehat{KED}=\widehat{KFD}=90^{\circ} & & \\ AD chung & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \Delta KED=\Delta KFD(ch.cgv)\Rightarrow DE=DF\rightarrow \blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-11-2015 - 12:50
Có thể giảm bớt công đoạn dùng tam giác đồng dạng như trên bằng cách sử dụng tứ giác nội tiếp như sau:
$\angle BKH=\angle BCA = \angle BEH \Rightarrow BKEH$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle BEK=\angle BHK=90^o$.
Tương tự...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh