Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

THCS Tháng 10 Bài 3

vmeo iv

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 21-11-2015 - 04:24

Bài 3:

Tìm tt c các s nguyên $a,b,c$ tha mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 21-11-2015 - 12:57

Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013  :lol:

Iran TST 2013: Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn   

$(a^{2}+b^2+c^2)\vdots 2013(ab+bc+ca)$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-11-2015 - 12:57


#3 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 21-11-2015 - 16:21

Đây là bài duy nhất mình làm  :icon6: . Chả biết đúng không nữa......

Không gim tính tng quát, ta đt: $a=c+x,b=c+y(x,y\in \mathbb{Z})$. Khi đó đng thc đã cho viết li thành:

 

 $(c+x)^{2}+(c+y)^{2}+c^{2}=3[(c+x)(c+y)+(c+y)c+c(c+x)]$

 

$\Leftrightarrow 3c^{2}+2cx+2cy+x^{2}+y^{2}=3(3c^{2}+2cy+2cx+xy)$

 

$\Leftrightarrow -6c^{2}-4cx-4cy+x^{2}+y^{2}-3xy=0$

 

$\Leftrightarrow 6c^{2}+4(x+y)c+(-x^{2}-y^{2}+3xy)=0$

 

Xem đây là phương trình bc hai n c, phương trình này có nghim nguyên nên $\Delta$ phi là s chính phương.Do vy:

 

$\Delta^{'} =[2(x+y)]^{2}-6(-x^{2}-y^{2}+3xy)=10x^{2}-10xy+10y^{2}$ là s chính phương.

 

Đến đây ta dùng lùi vô hn: 

 

Đ ý: $10x^{2}-10xy+10y^{2}\vdots 2$

 

$\Leftrightarrow 10x^{2}-10xy+10y^{2}\vdots 4$

 

$\Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}\vdots 2(*)$

 

$\Leftrightarrow$ $x,y$ cùng chn. Đt: $x=2x_{1},y=2y_{1}(x_{1},y_{1}\in \mathbb{Z})$ thì: $x_{1}^{2}-x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}\vdots 2$( Cùng dạng với (*)).

 

Điu này chng t nếu $(x,y)$ là nghim ca phương trình $(*)$ thì $(x_{1};y_{1})=(\frac{x}{2};\frac{y}{2})$ cũng là nghim ca phương trình $(*)$. Lp lun tương t thì: $(\frac{x}{2^{k}};\frac{y}{2^{k}};\frac{z}{2^{k}})(k\in \mathbb{N}$ tuỳ ý) là nghim ca phương trình. Điu này xy ra khi $x=y=0$.

 

Vy $a=b=c$ thay vào phương trình ban đu ta có $a=b=c=0$ là b ba s duy nht tho mãn.

----------------------------------------------------------

Làm xong và gửi bài mình mới chợt nhận ra có thể dùng ngay từ đầu cách trên: $c^{2}-3c(a+b)+a^{2}+b^{2}-3ab=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-11-2015 - 16:24

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#4 huytruong

huytruong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Thảo

Đã gửi 21-11-2015 - 20:54

Bài 3:

Tìm tt c các s nguyên $a,b,c$ tha mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$

$\blacksquare$ Bổ đề

$5\mid a^2+3b^2\Rightarrow 5\mid a,b$

$\square$ giả sử $5\not |\ a,b$

ta có 

$5\mid a^2+3b^2\Rightarrow a^2\equiv -3b^2(mod\ 5)\Rightarrow \left ( \frac{-3}{5} \right )=\left ( \frac{-3b^2}{5} \right )=1$

mà dễ tính $\left ( \frac{-3}{5} \right )=1$ nên điều trên vô lí tức là

$5\mid a,b$

$\blacksquare$ Quay lại bài toán

ta có 

$(a+b+c)^2=5(ab+bc+ca)\Rightarrow 5\mid a+b+c\Rightarrow c\equiv -a-b(mod\ 5)$

$\Rightarrow p\mid a^2+b^2+(-a-b)^2\Rightarrow 5\mid (2a+b)^2+3b^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\mid 2a+b\\5\mid b \end{matrix}\right.\Rightarrow 5\mid a,b$

tương tự ta có $5\mid c$

vì $p| a,b,c\Rightarrow a=5a_0,b=5b_0,c=5c_0\Rightarrow a_0^2+b_0^2+c_0^2=3(a_0b_0+b_0c_0+c_0a_0)$

cứ làm như vậy ta có $5^n\mid a,b,c$ tức $\boxed{a=b=c=0}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytruong: 21-11-2015 - 20:55


#5 Min Nq

Min Nq

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 21-11-2015 - 21:03

Bài 3:

Tìm tt c các s nguyên $a,b,c$ tha mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$

Mình cũng dùng lùi vô hạn, nhưng quá trình làm khác với O0NgocDuy0O.

Tính chất số chính phương: chia 3 dư 0 hoặc 1. Từ đó ta xét 2 trường hợp: $a^2$,$b^2$,$c^2$ cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia hết cho 3. xét trường hợp đầu thì vế trái của phương trình chia 9 dư 3, vế phải lại chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 6, suy ra sai. Xét trường hợp 2 thì đặt $a= 3a_{1};b= 3b_{1};c= 3c_{1}$, giản ước 3 cho 2 vế thì ta có lại phương trình đầu, sử dụng lùi vô hạn, lí luận tương tự thì ta luôn có: hoặc phương trình vô nghiệm, hoặc luôn có $\left \{ \frac{a}{3^{k}};\frac{b}{3^{k}};\frac{c}{3^{k }} \right \}$ với k tuỳ ý là nghiệm của phương trình. Vậy kết luận nghiệm duy nhất $(a;b;c)= (0;0;0)$



#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 22-11-2015 - 03:28

Mình cũng dùng lùi vô hạn, nhưng quá trình làm khác với O0NgocDuy0O.

Tính chất số chính phương: chia 3 dư 0 hoặc 1. Từ đó ta xét 2 trường hợp: $a^2$,$b^2$,$c^2$ cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia hết cho 3. xét trường hợp đầu thì vế trái của phương trình chia 9 dư 3, vế phải lại chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 6, suy ra sai. Xét trường hợp 2 thì đặt $a= 3a_{1};b= 3b_{1};c= 3c_{1}$, giản ước 3 cho 2 vế thì ta có lại phương trình đầu, sử dụng lùi vô hạn, lí luận tương tự thì ta luôn có: hoặc phương trình vô nghiệm, hoặc luôn có $\left \{ \frac{a}{3^{k}};\frac{b}{3^{k}};\frac{c}{3^{k }} \right \}$ với k tuỳ ý là nghiệm của phương trình. Vậy kết luận nghiệm duy nhất $(a;b;c)= (0;0;0)$

$a^2,b^2,c^2$ chia $3$ dư $1$ thì chưa chắc là tổng sẽ chia $9$ dư $3$. Ví dụ $a \equiv 1 \pmod{9}, b \equiv 1 \pmod{9}, c \equiv 2 \pmod{9}$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 23-11-2015 - 21:53

ĐÚng rồi . 
Em có 1 cách khác dùng hệ thức viets ạ

 

Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013  :lol:


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 26-11-2015 - 17:17

Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013  :lol:

Tổng quát của bài toán Iran TST: Chứng minh không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho $3(ab+bc+ca)$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh