Bài 3:
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$
Bài 3:
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$
Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013
Iran TST 2013: Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn
$(a^{2}+b^2+c^2)\vdots 2013(ab+bc+ca)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-11-2015 - 12:57
Đây là bài duy nhất mình làm . Chả biết đúng không nữa......
Không giảm tính tổng quát, ta đặt: $a=c+x,b=c+y(x,y\in \mathbb{Z})$. Khi đó đẳng thức đã cho viết lại thành:
$(c+x)^{2}+(c+y)^{2}+c^{2}=3[(c+x)(c+y)+(c+y)c+c(c+x)]$
$\Leftrightarrow 3c^{2}+2cx+2cy+x^{2}+y^{2}=3(3c^{2}+2cy+2cx+xy)$
$\Leftrightarrow -6c^{2}-4cx-4cy+x^{2}+y^{2}-3xy=0$
$\Leftrightarrow 6c^{2}+4(x+y)c+(-x^{2}-y^{2}+3xy)=0$
Xem đây là phương trình bậc hai ẩn c, phương trình này có nghiệm nguyên nên $\Delta$ phải là số chính phương.Do vậy:
$\Delta^{'} =[2(x+y)]^{2}-6(-x^{2}-y^{2}+3xy)=10x^{2}-10xy+10y^{2}$ là số chính phương.
Đến đây ta dùng lùi vô hạn:
Để ý: $10x^{2}-10xy+10y^{2}\vdots 2$
$\Leftrightarrow 10x^{2}-10xy+10y^{2}\vdots 4$
$\Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}\vdots 2(*)$
$\Leftrightarrow$ $x,y$ cùng chẵn. Đặt: $x=2x_{1},y=2y_{1}(x_{1},y_{1}\in \mathbb{Z})$ thì: $x_{1}^{2}-x_{1}y_{1}+y_{1}^{2}\vdots 2$( Cùng dạng với (*)).
Điều này chứng tỏ nếu $(x,y)$ là nghiệm của phương trình $(*)$ thì $(x_{1};y_{1})=(\frac{x}{2};\frac{y}{2})$ cũng là nghiệm của phương trình $(*)$. Lập luận tương tự thì: $(\frac{x}{2^{k}};\frac{y}{2^{k}};\frac{z}{2^{k}})(k\in \mathbb{N}$ tuỳ ý) là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi $x=y=0$.
Vậy $a=b=c$ thay vào phương trình ban đầu ta có $a=b=c=0$ là bộ ba số duy nhất thoả mãn.
----------------------------------------------------------
Làm xong và gửi bài mình mới chợt nhận ra có thể dùng ngay từ đầu cách trên: $c^{2}-3c(a+b)+a^{2}+b^{2}-3ab=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-11-2015 - 16:24
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bài 3:
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$
$\blacksquare$ Bổ đề
$5\mid a^2+3b^2\Rightarrow 5\mid a,b$
$\square$ giả sử $5\not |\ a,b$
ta có
$5\mid a^2+3b^2\Rightarrow a^2\equiv -3b^2(mod\ 5)\Rightarrow \left ( \frac{-3}{5} \right )=\left ( \frac{-3b^2}{5} \right )=1$
mà dễ tính $\left ( \frac{-3}{5} \right )=1$ nên điều trên vô lí tức là
$5\mid a,b$
$\blacksquare$ Quay lại bài toán
ta có
$(a+b+c)^2=5(ab+bc+ca)\Rightarrow 5\mid a+b+c\Rightarrow c\equiv -a-b(mod\ 5)$
$\Rightarrow p\mid a^2+b^2+(-a-b)^2\Rightarrow 5\mid (2a+b)^2+3b^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5\mid 2a+b\\5\mid b \end{matrix}\right.\Rightarrow 5\mid a,b$
tương tự ta có $5\mid c$
vì $p| a,b,c\Rightarrow a=5a_0,b=5b_0,c=5c_0\Rightarrow a_0^2+b_0^2+c_0^2=3(a_0b_0+b_0c_0+c_0a_0)$
cứ làm như vậy ta có $5^n\mid a,b,c$ tức $\boxed{a=b=c=0}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytruong: 21-11-2015 - 20:55
Bài 3:
Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3(ab+bc+ca)$
Mình cũng dùng lùi vô hạn, nhưng quá trình làm khác với O0NgocDuy0O.
Tính chất số chính phương: chia 3 dư 0 hoặc 1. Từ đó ta xét 2 trường hợp: $a^2$,$b^2$,$c^2$ cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia hết cho 3. xét trường hợp đầu thì vế trái của phương trình chia 9 dư 3, vế phải lại chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 6, suy ra sai. Xét trường hợp 2 thì đặt $a= 3a_{1};b= 3b_{1};c= 3c_{1}$, giản ước 3 cho 2 vế thì ta có lại phương trình đầu, sử dụng lùi vô hạn, lí luận tương tự thì ta luôn có: hoặc phương trình vô nghiệm, hoặc luôn có $\left \{ \frac{a}{3^{k}};\frac{b}{3^{k}};\frac{c}{3^{k }} \right \}$ với k tuỳ ý là nghiệm của phương trình. Vậy kết luận nghiệm duy nhất $(a;b;c)= (0;0;0)$
Mình cũng dùng lùi vô hạn, nhưng quá trình làm khác với O0NgocDuy0O.
Tính chất số chính phương: chia 3 dư 0 hoặc 1. Từ đó ta xét 2 trường hợp: $a^2$,$b^2$,$c^2$ cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia hết cho 3. xét trường hợp đầu thì vế trái của phương trình chia 9 dư 3, vế phải lại chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 6, suy ra sai. Xét trường hợp 2 thì đặt $a= 3a_{1};b= 3b_{1};c= 3c_{1}$, giản ước 3 cho 2 vế thì ta có lại phương trình đầu, sử dụng lùi vô hạn, lí luận tương tự thì ta luôn có: hoặc phương trình vô nghiệm, hoặc luôn có $\left \{ \frac{a}{3^{k}};\frac{b}{3^{k}};\frac{c}{3^{k }} \right \}$ với k tuỳ ý là nghiệm của phương trình. Vậy kết luận nghiệm duy nhất $(a;b;c)= (0;0;0)$
$a^2,b^2,c^2$ chia $3$ dư $1$ thì chưa chắc là tổng sẽ chia $9$ dư $3$. Ví dụ $a \equiv 1 \pmod{9}, b \equiv 1 \pmod{9}, c \equiv 2 \pmod{9}$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
ĐÚng rồi .
Em có 1 cách khác dùng hệ thức viets ạ
Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013
Đến gần ngày nộp bài thì chợt phát hiện ra bài này có ý tưởng khá giống bài toán số học trong Iran TST 2013
Tổng quát của bài toán Iran TST: Chứng minh không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho $3(ab+bc+ca)$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh