Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

THPT Tháng 10 Bài 2

vmeo iv

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 21-11-2015 - 04:26

Bài 2:

Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai đim đng giác nm bên trong. Gi $AP,AQ$ ln lượt ct đường tròn ngoi tiếp tam giác $QBC$ và $PBC$ ti $M,N$ ($M,N$ nm trong tam giác $ABC$).

 

a) Chng minh rng bn đim $M,N,P,Q$ cùng thuc mt đường tròn, gi đường tròn này là $(I)$.

 

b) Gi $MN$ ct $PQ$ ti $J$. Chng minh rng đường thng $IJ$ luôn đi qua mt đim c đnh khi $P,Q$ thay đi.

 

Chú thích: $P,Q$ được gi là hai đim đng giác ca tam giác $ABC$ nếu các đường thng $AP,BP,CP$ ln lượt đi xng vi đường thng $AQ,BQ,CQ$ qua các đường phân giác trong góc $A,B,C$ ca tam giác $ABC$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 22-11-2015 - 06:37

Lời giải có sử dụng nghịch đảo của Luis http://www.artofprob...njugate_problem



#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-01-2016 - 08:17

Lời giải của mình(biến đổi góc thuần túy)

a, Kéo dài AP và AQ cắt (QBC) và (PBC) lần lượt tại E,G,F,H

Theo tính chất của phương tích thì MNPQ nội tiếp khi và chỉ khi EFGH nội tiếp

CQ cắt EB tại Z. $\angle AEB=\angle PCB=\angle QCA$ nên tứ giác ZECA nội tiếp$\Rightarrow \angle BZQ=\angle BAQ$$\Rightarrow$AQBZ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle ZBA=\angle ZQA=\angle HQC=\angle HBC\Rightarrow \angle ZBC=\angle ABH$

Đến đây thì dễ rồi!

b,Theo tính chất của tâm đẳng phương thì PN,QM,BC đồng quy theo định lý Brocard thì IJ vuông góc với AS( S là giao của PN,QM,BC ); AL vuông góc với SI( L là giao của SI và AJ)

K là giao của IJ và AS thì KLIA là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow$ SK.SA=SL.SI=SM.SQ=SB.SC$\Rightarrow$ KABC là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow$ IJ đi qua điểm đối xứng với A qua O(đpcm)



#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-01-2016 - 16:00

Lời giải của mình(biến đổi góc thuần túy)

a, Kéo dài AP và AQ cắt (QBC) và (PBC) lần lượt tại E,G,F,H

Theo tính chất của phương tích thì MNPQ nội tiếp khi và chỉ khi EFGH nội tiếp

CQ cắt EB tại Z. $\angle AEB=\angle PCB=\angle QCA$ nên tứ giác ZECA nội tiếp$\Rightarrow \angle BZQ=\angle BAQ$$\Rightarrow$AQBZ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \angle ZBA=\angle ZQA=\angle HQC=\angle HBC\Rightarrow \angle ZBC=\angle ABH$

Đến đây thì dễ rồi!

b,Theo tính chất của tâm đẳng phương thì PN,QM,BC đồng quy theo định lý Brocard thì IJ vuông góc với AS( S là giao của PN,QM,BC ); AL vuông góc với SI( L là giao của SI và AJ)

K là giao của IJ và AS thì KLIA là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow$ SK.SA=SL.SI=SM.SQ=SB.SC$\Rightarrow$ KABC là tứ giác nội tiếp$\Rightarrow$ IJ đi qua điểm đối xứng với A qua O(đpcm)

Câu b bạn giải vậy thì đẹp rồi, nhưng câu a bạn nói rõ thêm được không? Chưa kể vị trí E,G,F,H của bạn định ra rất không rõ ràng.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-01-2016 - 18:29

E là giao của AP và (QBC);G là giao của AP và (PBC)

F là giao của AQ và (QBC);H là giao của AQ và (PBC)

Còn đến đoạn $\angle ZBC=\angle ABH$ thì chỉ cần trừ góc đi là được từ đó chứng minh bằng góc!

Nếu cần rõ hơn thì bạn cứ vẽ hình ra , nhìn sẽ chuẩn hơn nhiều!



#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 01-01-2016 - 19:43

E là giao của AP và (QBC);G là giao của AP và (PBC)

F là giao của AQ và (QBC);H là giao của AQ và (PBC)

Còn đến đoạn $\angle ZBC=\angle ABH$ thì chỉ cần trừ góc đi là được từ đó chứng minh bằng góc!

Nếu cần rõ hơn thì bạn cứ vẽ hình ra , nhìn sẽ chuẩn hơn nhiều!

Theo cách viết của $\angle AEB=\angle PCB$ thì $E$ phải là giao điểm thứ 2 của $AP$ và $(PBC)$, thay vì $G$.

$\angle HQC = \angle HBC$ thì $H$ phải là giao điểm còn lại của $AQ$ và $(QBC)$, thay cho $F$.

File gửi kèm  010116.png   52.5K   1 Số lần tải

Và "trừ góc đi" là trừ thế nào? Từ $\angle ZBC=\angle ABH$, mình chỉ thấy $\triangle ZBC \sim \triangle ABH$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-01-2016 - 20:06

Theo cách viết của $\angle AEB=\angle PCB$ thì $E$ phải là giao điểm thứ 2 của $AP$ và $(PBC)$, thay vì $G$.

$\angle HQC = \angle HBC$ thì $H$ phải là giao điểm còn lại của $AQ$ và $(QBC)$, thay cho $F$.

attachicon.gif010116.png

Và "trừ góc đi" là trừ thế nào? Từ $\angle ZBC=\angle ABH$, mình chỉ thấy $\triangle ZBC \sim \triangle ABH$.

mình xin lỗi bạn Z là giao của GB và CQ

Từ đó ta giải thế này vẫn có $\angle ZBC=\angle ABF=\angle GHC$

$\angle QHC=\angle QBC=\angle PBA$

Vậy $\angle NHG=\angle PBF=\angle GEF$

Ta được đpcm



#8 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 02-01-2016 - 03:44

mình xin lỗi bạn Z là giao của GB và CQ

Từ đó ta giải thế này vẫn có $\angle ZBC=\angle ABF=\angle GHC$

$\angle QHC=\angle QBC=\angle PBA$

Vậy $\angle NHG=\angle PBF=\angle GEF$

Ta được đpcm

Nếu chỉnh lại $Z$ là giao điểm của $GB$ và $CQ$ (mà vẫn giữ $A,Z,B,Q$ đồng viên) thì $\angle QHC \ne \angle QBC$ do $Q, B, H, C$ không đồng viên :mellow:  Bạn có thể viết lại hoàn chỉnh lời giải được không? Mình cũng hiểu sơ lược ý của bạn, nhưng cảm giác cần phải có $M, N$ là điểm đẳng giác nữa mới đủ.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#9 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-01-2016 - 12:21

:mellow: Thành thật xin lỗi bạn, lời giải của mình bị sai

Đúng như bạn nói thì M,N đẳng giác nữa mới đủ!



#10 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 02-01-2016 - 15:31

:mellow: Thành thật xin lỗi bạn, lời giải của mình bị sai

Đúng như bạn nói thì M,N đẳng giác nữa mới đủ!

Chứng minh $M,N$ đẳng giác, theo mình biết thì chỉ mới có cách chứng minh trùng.

Còn đây là lời giải của mình - không sử dụng cái đẳng giác đó, tuy nhiên cũng không cho ta phát hiện nhiều điều mới.

File gửi kèm  020116.png   22.59K   0 Số lần tải

Xét vị trí các điểm như trong hình (trường hợp khác chứng minh tương tự)

Ta sẽ chứng minh \[\angle QMP + \angle QNP = {180^o}\]

Lại có \[\begin{array}{ll}
\angle QMP &= \angle QMB - \angle PMB\\
&= {180^o} - \angle QCB - \left( {\angle MAB + \angle ABM} \right)
\end{array}\]

Và \[\begin{array}{ll}
\angle QNP &= {360^o} - \angle QNC - \angle PNC\\
&= {360^o} - \left( {{{180}^o} - \angle QAC - \angle NCA} \right) - \left( {{{180}^o} - \angle PBC} \right)\\
 &= \angle QAC + \angle NCA + \angle PBC
\end{array}\]

Như vậy, ta sẽ chứng minh

\[\begin{array}{rl}
\angle QCB + \angle MAB + \angle ABM &= \angle QAC + \angle NCA + \angle PBC\\
 \Leftrightarrow \angle NCA + \angle PBC &= \angle QCB + \angle MBA\\
 \Leftrightarrow \angle NCQ + \angle QCA + \angle PBN + \angle NBC &= \angle QCN + \angle NCB + \angle MBA\\
 \Leftrightarrow \angle QCA + \angle PBN &= \angle NCB\\
 \Leftrightarrow \angle PCB + \angle PCN &= \angle NCB
\end{array}\]

Đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh