Bài 4:
Cho $n$ là một số nguyên dương. Xếp n bạn học sinh $A_1,A_2,..,A_n$ cách đều nhau trên một vòng tròn. Phát cho họ mỗi người một số kẹo với tổng là $m \ge n$ cây kẹo. Ta gọi một cấu hình là "cân bằng" nếu với mỗi bạn học sinh $A_i$ bất kì, luôn tồn tại ít nhất một đa giác đều nhận $A_i$ làm đỉnh, và tất cả các bạn học sinh là đỉnh của đa giác này đều có số kẹo bằng nhau.
a) Với $n$ cho trước tìm điều kiện tối thiểu của $m$ để có thể phát kẹo cho các học sinh tạo ra cấu hình "cân bằng".
b) Giả sử các bạn học sinh có thể thực hiện các bước chuyền kẹo, mỗi bước một bạn có thể chuyền một viên kẹo cho một bạn kế bên (trái hoặc phải tùy ý) với điều kiện người nhận kẹo phải có ít kẹo hơn người cho. Chứng minh rằng nếu $n$ là tích của nhiều nhất 2 số nguyên tố và $m$ tương ứng thỏa mãn câu a, khi đó với bất kì cách phát kẹo ban đầu như thế nào, ta luôn có thể đưa về cấu hình "cân bằng" sau hữu hạn lần chuyển kẹo.