Chủ đề này có 1 trả lời

[roby10]

Giải phương trình:

$\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{1+\sqrt{x}}= \frac{3x^{2}+3\sqrt{x}-2}{2(x^{2}+\sqrt{x})}$

[quanguefa]

Đkxđ $x\geq 0$

PT đã cho tương đương: $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{3}{2}$

Theo AM-GM: $\frac{\sqrt{x}+1}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}+1}{1+\sqrt{x}}\geq 2$

Cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\geq -\frac{1}{2}$

Thật vậy BĐT này tương đương: $\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\geq \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+\sqrt{x}+2}{2(x^{2}+\sqrt{x})}\geq \frac{x^{2}+\sqrt{x}+2}{(x^{2}+1)(1+\sqrt{x})}$

$\Leftrightarrow x^{2}\sqrt{x}+1\geq x^{2}+\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(x^{2}-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2}(\sqrt{x}+1)(x+1)\geq 0$

BĐT này luôn đúng vì $x\geq 0$, suy ra: $\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x}}\geq \frac{3}{2}$

Từ những điều trên suy ra x=1 là nghiệm duy nhất của PT.

 

Bài này ảo quá, may mà làm phát theo hướng BĐT thì lại thuận lợi quá chừng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 22-11-2015 - 08:16