Khảo sát tính lồi của các tập sau đây
1. Hội, giao, hiệu, tổng, tích của hai tập lồi.
2. Không gian Vecto con, Nửa không gian đóng, Siêu phẳng.
3. Đoạn nối hai điểm, Hình cầu đóng, hình cầu mở trong không gian định chuẩn.
4. Tích của số thực t và tập lồi A.
5. Hình tròn tâm (1,-3) và bán kính 5.
Giải câu 5.
Đặt
$M_0=\left\{ (x,y) \in R^2 : (x-1)^2+(y+3)^2 \leq 5 \right\}$
Đặt $X=x-1$ $Y=y+3$
$M =\left\{ (x,y) \in R^2 : X^2+Y^2 \leq 5 \right\}$
Ta chứng minh $M$ là tập lồi thì $M_0$ cũng là tập lồi.
Gọi $u_1(x_1,y_1), u_2(x_2,y_2) \in M$
Gọi $u(X,Y)$ là tổ hợp lồi của $u_1$, $u_2$.
$u=(\lambda u_1 + (1-\lambda) u_2)$; $\lambda \in [0,1]$
$x=(\lambda X_1 + (1-\lambda) X_2)$; $y=(\lambda Y_1 + (1-\lambda) Y_2)$
Khi đó
$X^2+Y^2=\lambda^2(x_1^2+y_1^2) + (1-\lambda)^2(x_2^2+y_2^2) + 2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2)$
$x_1^2+y_1^2 \leq 5$
$x_2^2+y_2^2 \leq 5$
Theo BĐT Cauchy
$x_1x_2 + y_1y_2 \leq \dfrac{x_1^2+x_2^2}{2} + \dfrac{y_1^2+y_2^2}{2} \leq \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 5$
Suy ra $X^2+Y^2 \leq 5(\lambda^2 + 2\lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2)$
$\Rightarrow X^2+Y^2 \leq 5 \\ \Rightarrow u \in M$
Vậy $M$ là tập lồi nên $M_0$ cũng là tập lồi.
Các câu còn lại mình chưa giải, mọi người tham khảo.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanh1223: 22-11-2015 - 16:53
