Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n\mid a^{\frac{\varphi(m) }{p}}-1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa.
  • Sở thích:$\boxed{\text{007}}$

Đã gửi 24-11-2015 - 19:43

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 26-11-2015 - 20:18

It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-05-2020 - 09:48

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

Xét $2$ trường hợp :

1) $n$ chia hết cho $p^2$ : Khi đó $n$ có dạng $n=mp^t$ ($m,t\in\mathbb{N^*}$ ; $t\geqslant 2$ ; $m \not \vdots\ p$)

    $\varphi (n)=(p-1)p^{t-1}\varphi (m)$

    Vì $\varphi (p^t)=(p-1)p^{t-1}$ nên theo định lý Euler $p^t\mid a^{(p-1)p^{t-1}}-1$

    $\Rightarrow p^t\mid \left (a^{(p-1)p^{t-1}} \right )^{\frac{\varphi (m)}{p}}-1$                 (1)

    (với điều kiện $\varphi (m)\ \vdots\ p$ hay $m=cq^s$ trong đó $q$ là số nguyên tố, $q-1\ \vdots\ p$ ; $s\in \mathbb {N^*}$, $c\not \vdots\ p$ ; $c\not \vdots\ q$)

    Cũng theo định lý Euler $m\mid a^{\varphi (m)}-1$

    $\Rightarrow m\mid \left (a^{\varphi (m)} \right )^{(p-1)p^{t-2}}-1$                  (2)

    Vì $(m,p)=1$ nên từ (1) và (2) suy ra $mp^t\mid a^{(p-1)p^{t-2}.\varphi (m)}-1$ hay $n\mid a^{\frac{\varphi (n)}{p}}-1$

 

2) $n$ không chia hết cho $p^2$ :

  a) $n=1$ : Không thỏa mãn vì $p\not \mid \varphi (n)$

  b) $n\neq 1$ : Khi đó $n$ có dạng $n=kq^s$ ($k,s\in\mathbb{N^*}$ ; $q$ là số nguyên tố ; $q-1\ \vdots\ p$ ; $k \not \vdots\ q$ ; $k \not \vdots\ p^2$)

    $\varphi (n)=(q-1)q^{s-1}\varphi (k)$

    Theo định lý Euler $q^s\mid a^{(q-1)q^{s-1}}-1$

    $\Rightarrow q^s\mid \left (a^{(q-1)q^{s-1}} \right )^{\frac{\varphi (k)}{p}}-1$                  (3)
    (với điều kiện $\varphi (k)\ \vdots\ p$ hay $k=cr^bp^d$ trong đó $r$ là số nguyên tố, $r-1\ \vdots\ p$, $r\neq q$, $c\not \vdots\ p$, $c\not \vdots\ q$, $b\in \mathbb{N^*}$, $d\in \left \{0;1 \right \}$)

    Cũng theo định lý Euler $k\mid a^{\varphi (k)}-1$
    $\Rightarrow k\mid \left (a^{\varphi (k)} \right )^{\frac{q-1}{p}.q^{s-1}}-1$                  (4)

    Vì $(k,q)=1$ nên từ (3) và (4) suy ra $kq^s\mid a^{(q-1)q^{s-1}.\frac{\varphi (k)}{p}}-1$ hay $n\mid a^{\frac{\varphi (n)}{p}}-1$

 

Tóm lại, tất cả các số $n$ thỏa mãn có dạng $n=cp^tq^s$ hoặc $n=cp^dq^sr^b$, trong đó :

+ $q,r$ là số nguyên tố ; $q-1\ \vdots\ p$ ; $r-1\ \vdots\ p$ ; $q\neq r$

+ $c,t,s,b\in \mathbb{N^*}$ ; $t\geqslant 2$ ; $c\not \vdots\ p$

+ $d\in \left \{0;1 \right \}$

  
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-05-2020 - 23:20

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh