Chủ đề này có 3 trả lời

[Math Hero]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $x.y.z=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$P= \sum \frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}$

[royal1534]

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $x.y.z=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

$P= \sum \frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}$

Bạn coi kĩ đề lại được không..Mình tìm được $Min$ thôi :v

[royal1534]

À không,mình nhầm (

[huytruong]

Theo bđt cauchy.schwarz

$P= \sum \frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}} \leq \sqrt{3\sum \frac{1}{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}$

Từ  AM GM ta đc

$(x^{5}+x+1)+(x^{5}+x^{2}+1.5) \geq 3x^{2}+7x$  tương đương vs  $x^{5}-x^{2}+3xy+6 \geq 3(1+x+xy)$

Có 2 bđt tương tự suy ra

$\sum \frac{1}{x^{5}-x^{2}+3xy+6}\leq \sum \frac{1}{3(1+x+xy)}$

từ gt xyz=1 suy ra

$\sum \frac{1}{3(1+x+xy)}=\frac{1}{3}$

suy ra $P\leq 1$

vậy $MaxP=1$

Đẳng thức xảy khi $a=b=c=1$