Chủ đề này có 3 trả lời

[tpdtthltvp]

1/Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.CMR: 

2/Tìm max $N=\frac{8x^2+6xy}{x^2+y^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 25-11-2015 - 22:13

[Minhnguyenthe333]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.CMR: 

$P=\sum \frac{a^4}{(ac+1)(ab+1)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (ab+1)(ac+1)}\geq \frac{(a+b+c)^4}{9(a+b+c)+18(ab+bc+ca)+27}$
Ta có: $\frac{1}{P}\leq \frac{9}{(a+b+c)^3}+\frac{6}{(a+b+c)^2}+\frac{27}{(a+b+c)^4}\leq \frac{9}{3^3}+\frac{6}{3^2}+\frac{27}{3^4}=\frac{4}{3}$ (theo Cauchy)
$\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}$

[Quoc Tuan Qbdh]

1/Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.CMR: 

2/Tìm max $N=\frac{8x^2+6xy}{x^2+y^2}$

1/ Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\sum (\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}) \geq \sum \frac{3a}{4}$

Tương đương

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)} \geq \sum \frac{2a-1}{4} \geq \frac{6\sqrt[3]{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

2/ Nhận thấy $x$ và $y$ không đồng thời $=0$

$y=0$; $x$ khác $0$ thì $N=8$

$x=0$; $y$ khác $0$ thì $N=0$

$x$ và $y$ khác $0$ 

Ta có : $N=\frac{8a^{2}+6a}{a^{2}+1}$ với $a=\frac{x}{y}$

Tương đương $(N-8)a^{2}-6a+N=0$

Tương đương

$\Delta'=9-N^{2}+8N=-(N+1)(N-9) \geq 0$

$<=>-1 \leq N \leq 9$

Vậy $Max$ $N=9$ khi $a=\frac{x}{y}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-11-2015 - 19:41

[VOHUNGTUAN]

1/Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.CMR: 

2/Tìm max $N=\frac{8x^2+6xy}{x^2+y^2}$

1, Ta có:    

     $\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

đến đây dễ