Chủ đề này có 19 trả lời

[Nameless]

Em mở topic này để bàn về hàm điều hòa dưới (và cả hàm điều hòa nữa ) . Ai biết những tính chất gì hay của hàm điều hòa dưới , hoặc bài tập hay trong mục này thì càng tốt .

1.Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?h là hàm điều hòa trên một miền http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D\subset\mathbb{C} . Khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?h )là hàm điều hòa dưới trên
(Thi nghiên cứu sinh của Viện Toán )

[Mr Stoke]

Bài 1 đơn giản, kiểm tra bđt trung bình dưới là xong. Mình đăng luôn vài bài nữa nè

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?D miền trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}. Kiểm tra tính điều hòa dưới của các hàm sau đây
1) http://dientuvietnam...gi?u_1,....,u_n điều hòa dưới thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_{k}x_ku_k và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sup_{k=1,n}u_k(z)điều hòa dưới với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_k\geq0
2) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi là hàm lồi tăng trên miền giá trị của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?u hoặc u là điều hòa và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi(u) lồi trên miền giá trị của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?u thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\phi(u) điều hòa dưới.
3) u điều hòa trên D khi và chỉ khi u,-u cùng điều hòa dưới.
4) u lớp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^2 thì u điều hòa dưới khi và chỉ khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D, thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u điều hòa dưới khi và chỉ khi với mọi chỉnh hình thì điều hòa dưới.

[Nameless]

Bài 1 thì chỉ dùng cái này chỉnh hình .

Bài 6 của anh Mr Stoke trông lạ nhỉ ?Nếu D đơn liên thì đúng, còn D bất kỳ thì để em nghĩ thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nameless: 10-05-2006 - 11:34

[Nameless]

Có bài này vãi hay, mọi người thích thì làm

7.Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?u là hàm điều hòa dưới trên hình tròn mở,đơn vị, tâm 0, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\infty, và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?u(0)=-\infty .Chứng minh :

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nameless: 11-05-2006 - 11:32

[Mr Stoke]

ê Nameless coi lại cái đề bài xem có sai sót gì không nhé , cái này chắc là suy ra từ tính covex-logarithmic (lồi loga) của hàm điều hòa dưới
Không rõ kí hiệu là gì nữa?

[Nameless]

Em sửa lại đề một chút rồi đấy , em quên mất điều kiện của u(0). là toán tử Laplace mở rộng (tiếng Anh là The generalized Laplacian )

[titeoteo]

Cho tớ hỏi: hàm điều hòa có nhất thiết là hàm thực hay không?

[Kakalotta]

Bây giờ mình muốn hỏi mọi nguời một chút, có mấy câu hỏi mở, khá hay
1- thế nào là toán tử laplace? Tự nhiên bây giờ lại chả hiểu đuợc thế nào là toán tử Laplace nữa rồi.
2- thế nào là căn bậc hai của toán tử Laplace? Lý thuyết chỉ số của toán tử này? Ý nghĩa.
3- Lý thuyết phổ của các toán tử này

[Nameless]

Anh kaka hỏi mấy câu này làm em hơi giật mình, có thể em dịch sai từ Laplacian .Lúc nào em sẽ xem lại thuật ngữ .

Bây giờ em nêu định nghĩa http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?u là hàm điều hòa dưới trên một miền http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?dA là độ đo Lebesgue trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}


To Titeoteo : hàm điều hòa thì định nghĩa trên cả phức lẫn thực, theo như tớ được học , nhưng mà người ta chỉ xét hàm điều hòa thực thôi, vì nếu hàm điều hòa phức thì phần thực và ảo của nó cũng điều hòa . Còn hàm điều hòa dưới thì định nghĩa theo bất đẳng thức trung bình dưới, nên chắc chả có phức đâu nhỉ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nameless: 11-05-2006 - 19:23

[Kakalotta]

Tốt, vậy là nameless đã biết hàm suy rộng, và đạo hàm theo nghĩa sobolev.
Cái mình muốn nói đến là định nghĩa toán tử Lâplace không phụ thuộc vào hệ tọa độ địa phương, để có thể định nghĩa cho đa tạp Riemann

[Nameless]

Cái này em chưa học đâu . Đa tạp em chưa biết gì cả .Hiện tại em đang học giải tích phức, cũng chưa có gì nhiều đâu ạ, anh hỏi sâu thế thì em chịu rồi

[quantum-cohomology]

Theo em hiểu thì định nghĩa Laplace = d*d + dd* có thể dùng cho đa tạp Riemann với d* là adjoint operator. Trường hợp phức thì có 2 loại tương ứng với holomorph và antiholomorp, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta_{\bar{\partial_E}} với E là holomorphic vector bundle. Index = dim Ker - dim Coker = topological Index.
Nó tương đương với định lý Riemann Roch mở rộng, say , đặc trưng Euler Poincare được xác định bởi đặc trưng Chern và Todd class.

Lý thuyết phổ của các toán tử thì chắc mời bác Hoadaica vào đây làm vài chưởng xem nào.

[Kakalotta]

Không, cái thú vị là căn bậc hai của toán tử Lâplace cơ, còn gọi là toán tử Dirac, đóng vai trò quan trọng trong hh của connnes

[quantum-cohomology]

Em có biết Dirac Operator trong Spin Geometry và Seibert-Witten Invariant, nhưng Dirac Operator trong Connes Geometry thì mới chỉ đọc sách nên cũng chưa nắm vững lắm. 2 cái liệu có liên quan gì tới nhau không nhỉ?

[titeoteo]

Thanks Namless.
Cho tớ hỏi câu khác:
1 hàm điều hòa trên đĩa đóng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\leq

[Nameless]

Chào anh titeoteo .
Theo em được biết thì có một định lý na ná như cái anh hỏi em . Đó là Riesz Decomposition Theorem trong cuốn lý thuyết thế vị của Ransford , trang 76 .
Anh hỏi thử anh TLCT xem

[Mr Stoke]

Đl biểu diễn Riesz nói rằng một hàm SH khác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\infty trên miền bất kì có thể biểu diễn ở "dạng tích phân Poisson" nhưng "sai khác" một hàm điều hoà. ĐL này lấy ý tưởng từ lý thuyết phân bố giá trị của L.Schwartz,chứng minh cần ba hoặc bốn cái bổ đề gì đó. Công thức biểu diễn kiểu thế này:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u(z)=\int_{E}K(z-\xi)d\mu(\xi)+h(z)
ở đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mu là độ đo Borel xác định duy nhất theo http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?u, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?K(z) là 1 nghiệm cơ bản của pt Laplace.

[Nameless]

Cho em hỏi tích phân Poisson mà anh Mr Stoke nói đến có dạng như thế nào ạ ? Em thấy tích phân Poisson mà em được học là để xây dựng hàm điều hòa . Thế thì u cũng là hàm điều hòa nốt ạ ????
Anh giải thích dùm em nhé

[nihaoa]

khi có công thức u dạng như anh Stoke chỉ thì nếu kô lầm để chứng minh u điều hòa ta cứ chứng minh có
Mới nãy vô tình thấy cái đly này hay hay post lên mọi người cùng xem (mình mới biết lần đầu)
If u(x) is twice differentiable, harmonic and nonnegative, ω is a bounded domain with the closure of ω in Ω, then there is a constant C which is independent of Ω such that :
link: http://en.wikipedia....ck's_inequality

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nihaoa: 27-05-2006 - 07:10

[Nameless]

Ban đầu em tưởng u là hàm điều hòa dưới thì trông lạ . Hóa ra đây là hàm điều hòa , nhưng mà nếu là hàm điều hòa thì cần gì phải khả vi 2 lần ???
Cái định lý trên hoàn toàn suy ra từ khoảng cách Harnack